[논문 리뷰] Prym covers, theta functions and Kobayashi curves in Hilbert modular surfaces

Martin Moeller|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 10.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 테타 함수의 도함수의 행렬식을 사용하여 힐버트 모듈라 표면 내의 코바야시 곡선—완전하게 지선형인 대수적 곡선—을 구성한다. 이 과정에서 이러한 곡선의 영점이 되는 명시적 모듈라 형식을 제공한다. 주요 기여는 4차 및 3차 곡선에서 프림 테이히뮐러 곡선의 오일러 지표를 계산하는 공식을 제시하는 것으로, χ(W_D(6)) = −7χ(X_D) 및 χ(W_D(4)^j) = −5⁄2χ(X_D,(1,2))임을 보여준다.

ABSTRACT

Algebraic curves in Hilbert modular surfaces that are totally geodesic for the Kobayashi metric have very interesting geometric and arithmetic properties, e.g. they are rigid. There are very few methods known to construct such algebraic geodesics that we call Kobayashi curves. We give an explicit way of constructing Kobayashi curves using determinants of derivatives of theta functions. This construction also allows to calculate the Euler characteristics of the Teichmueller curves constructed by McMullen using Prym covers.

연구 동기 및 목표

• 힐버트 모듈라 표면 내의 코바야시 곡선의 영점이 되는 명시적 모듈라 형식을 구성하기 위해.
• 아벨 미분의 모듈리 공간 내 프림 테이히뮐러 곡선 W_D(6) 및 W_D(4)의 오일러 지표를 계산하기 위해.
• 더 높은 수준의 구조를 가진 테타 함수를 사용하여 이러한 곡선의 구성 방식을 일반화하기 위해.
• 다양한 유형의 코바야시 곡선을 구분하는 불변량으로서의 두 번째 리아풀로프 지수를 연구하기 위해.
• 고차 도함수를 가진 테타 함수의 행렬식을 통해 새로운 코바야시 곡선을 구성할 가능성 탐색하기 위해.

제안 방법

• z_2에 대한 테타 함수와 그 일차, 이차, 삼차 도함수의 4×4 행렬의 행렬식으로 정의된 모듈라 형식 G_D^X(z)를 정의한다.
• G_D^X(z)가 SL(o_D ⊕ o_D^∨)에 대해 무게 (2,14)의 모듈라 형식이며, 그 영점이 곡선 W_D^X와 일치함을 보인다.
• 힐버트 모듈라 표면에서의 교차 이론을 사용하여 선다발 ω_1 및 ω_2를 곡선 계수 [W_D^X]와 쌍으로 묶어 오일러 지표를 계산한다.
• 관계식 [W_D^X] = [ω_1] + 7[ω_2]와 교차수 [ω_1][ω_2] = χ(X_D)를 적용하여 χ(W_D^X) = −7χ(X_D)를 유도한다.
• N^2 차원의 테타 함수 θ(c_1,0)(z,u) (c_1 ∈ (1/N)Z^2 / Z^2)를 고려하여 더 높은 수준의 테타 함수로 구성 방식을 일반화한다. 이는 N^2 차원의 행렬식을 형성한다.
• G_D^{[N]}(z)를 이 테타 함수의 최대 N^2−1차 도함수로 이루어진 N^2 × N^2 행렬의 행렬식으로 정의하여, 무게 (N^2/2, N^2/2 (2N^2−1))의 모듈라 형식을 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 힐버트 모듈라 표면 내의 코바야시 곡선은 테타 함수와 그 도함수를 사용하여 명시적으로 구성될 수 있는가?
• RQ2 아벨 미분의 모듈리 공간 내 프림 테이히뮐러 곡선 W_D(6) 및 W_D(4)의 오일러 지표는 무엇인가?
• RQ3 일반화된 테타 함수 행렬식 G_D^{[N]}의 영점은 기약적이고, 새로운 코바야시 곡선을 유도하는가?
• RQ4 힐버트 모듈라 표면 내 코바야시 곡선의 가능한 두 번째 리아풀로프 지수의 집합은 무엇인가?
• RQ5 다양한 테이히뮐러 곡선들(예: W_D, W_D^X, W_D(6))의 리아풀로프 지수는 어떻게 비교되며, 기하학적으로는 무엇을 의미하는가?

주요 결과

• 고전적 테타 함수의 도함수의 행렬식인 G_D^X(z)는 무게 (2,14)의 모듈라 형식이며, 그 영점이 코바야시 곡선 W_D^X와 일치한다.
• M_4 내 프림 테이히뮐러 곡선 W_D(6)의 오일러 지표는 χ(W_D(6)) = −7χ(X_D)이다.
• D ≡ 4 mod 8일 때, M_3 내 곡선 W_D(4)의 오일러 지표는 χ(W_D(4)) = −5⁄2χ(X_D,(1,2))이다.
• D ≡ 1 mod 8일 때, 두 성분 W_D(4)^1 및 W_D(4)^2 각각에 대해 χ(W_D(4)^j) = −5⁄2χ(X_D,(1,2))를 만족한다.
• 두 번째 리아풀로프 지수 λ_2(C) = ([ω_1]·[C])/([ω_2]·[C])는 코바야시 곡선의 불변량이며, 다양한 곡선 유형에 대해 값이 1, 1/3, 1/7, 1/2로 나타난다.
• 일반화된 행렬식 G_D^{[N]}(z)는 무게 (N^2/2, N^2/2 (2N^2−1))의 모듈라 형식이며, λ_2 = 1/(2N^2−1)인 잠재적 새로운 코바야시 곡선의 가족을 시사한다.