[논문 리뷰] Prym varieties and fourfold covers

Sevín Recillas, Rubí E. Rodríguez|ArXiv.org|2003. 03. 12.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 4인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 중간 덮개의 프림 다양체를 사용하여 곡선의 네중갈라스 덮개의 야코비안을 연구하며, 이종사상의 핵과 분포 유형에 대한 명시적인 군론적 기술을 제공한다. 이는 군 작용을 통한 빅오날 및 트리골 건설의 새로운 증명을 제공하고, 제어된 분포를 통해 타원곡선과 아벨 다양체의 곱과 이종사상인 야코비안의 가중치를 유도한다.

ABSTRACT

We describe the isotypical decomposition of the Jacobian variety JW of the Galois extension W-->T of any fourfold cover of smooth connected irreducible projective complex curves X-->T, in terms of Prym's of intermediate covers. We also compute the degree of the isogenies involved and as a result we obtain new proofs of the bigonal and trigonal constructions. Furthermore, we give examples of families of Jacobians isogenous to a product of Jacobians and of families of Prym varieties isogenous to the product of elliptic curves.

연구 동기 및 목표

• 네중갈라스 덮개의 야코비안의 구조를 중간 덮개의 일반화된 프림 다양체를 사용하여 분석하는 것.
• 야코비안의 동형분해에서 발생하는 자연스러운 이종사상의 핵을 특정 2- torsion 부분군을 통해 결정하는 것.
• 특정 분포 데이터와 $T = \mathbb{P}^1$로 제한함으로써 빅오날 및 트리골 건설에 군론적이고 표현론적인 방법을 적용하여 재증명하는 것.
• 제어된 분포를 통해 야코비안과 프림 다양체의 곱과 이종사상인 타원곡선의 곱과 이종사상인 야코비안의 가중치를 구성하는 것.
• 이황군, 대칭군, 교환군을 갖는 네중 덮개의 맥락에서 분포 유형과 쌍대성 관계를 특성화하는 것.

제안 방법

• 유한군 작용 하에서 야코비안의 동형분해를 사용하여 유리적 단순 성분을 중간 덮개의 일반화된 프림 다양체로 식별하는 것.
• 특히 $\mathbb{P}^1$ 기반 덮개의 맥락에서 야코비안과 프림 다양체를 연결하는 도구로 빅오날 및 트리골 건설을 적용하는 것.
• 분포 데이터를 사용하여 $P_{\sigma}[2]$, $P_{\tau}[2]$, $P_{\sigma\tau}[2]$의 2- torsion 부분군에 대한 명시적 기술을 통해 이종사상 $\phi_{k}$의 핵을 계산하는 것.
• 분포점에 관련된 선다발과 기저 곡선 $T$에서의 역상으로부터 $P_{\sigma}[2]$, $P_{\tau}[2]$, $P_{\sigma\tau}[2]$의 생성자를 구성하는 것.
• 쌍대성과 역상 사상($a_{\sigma}^*$, $b_{\sigma}^*$)을 사용하여 프림 다양체의 부분군을 연결하고, 교차를 계산하여 핵 크기를 결정하는 것.
• 코로나리 4.3과 $JT[2]$의 구조를 적용하여 프림 다양체의 2- torsion 부분군을 토션 부분군과 선다발 클래스의 직합으로 분해하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 네중갈라스 덮개의 야코비안은 중간 덮개의 일반화된 프림 다양체를 사용하여 어떻게 이종사상 성분으로 분해될 수 있는가?
• RQ2 네중갈라스 덮개의 경우 야코비안과 그 프림 성분 사이의 이종사상의 핵은 명시적으로 어떤 구조를 갖는가?
• RQ3 빅오날 및 트리골 건설은 분포 데이터에 제한된 상태에서 순수하게 군론적 및 표현론적 방법을 통해 재도출될 수 있는가?
• RQ4 프림 다양체가 타원곡선의 곱과 이종사상이 되는 데 필요한 분포 조건은 무엇인가?
• RQ5 이황군, 대칭군, 교환군의 경우 프림 다양체가 유전하는 분포 유형은 무엇인가?

주요 결과

• 이황군의 경우 $r > 1$ 이고 $st > 0$ 이면, $\phi_\tau$의 핵 크기는 $2^{2g_T - 1 + t}$이며, $\phi_{\sigma\tau}$ 및 $\phi_\sigma$의 경우도 유사한 공식이 성립한다.
• 경우 $r = t = 1$ 에서 $\phi_{\sigma\tau}$의 핵 크기는 $2^{2g_T}$이며, 이는 프림 2- torsion 부분군의 역상의 교차가 더 크다는 것을 나타낸다.
• $P_\sigma[2]$, $P_\tau[2]$, $P_{\sigma\tau}[2]$의 2- torsion 부분군은 $b_\sigma^*(JT[2])$, $b_\tau^*(JT[2])$ 및 추가적인 선다발 클래스를 포함하는 직합으로 명시적으로 분해된다.
• $a_\sigma^*(P_\sigma[2]) \cap a_\tau^*(P_\tau[2])$ 는 $\gamma^*(JT[2]) \oplus \bigoplus_{i=1}^{r-1} \mathcal{F}_i \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 로 나타나며, 이는 핵 크기를 결정한다.
• 논문은 $T = \mathbb{P}^1$ 과 특정 분포 프로파일로 제한함으로써 고전적인 트리골 및 빅오날 건설이 군론적 방법으로 재증명될 수 있음을 입증한다.
• $\mathcal{S}_4$-작용을 갖는 곡선의 가중치를 구성하고, 그 야코비안이 야코비안의 곱과 이종사상임을 보이며, 명시적인 핵 계산을 제공한다.