[논문 리뷰] Pseudo-entropy for descendant operators in two-dimensional conformal field theories

Song He, Jie Yang외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 12.

Quantum many-body systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 2차원 유리성 공변장론(RCFTs)에서 주어진 원시 연산자에 대해 유도된 연장 연산자에 의해 생성된 국소적으로 흥분된 상태에서, 가짜-레니이 엔트로피의 만기 행동을 조사한다. 두 연장 연산자가 동일한 바이르소 연산자 생성자로부터 유도될 경우, 가짜-레니이 엔트로피의 만기 초과는 원시 연산자의 양자 차원의 로그와 일치함을 보여주며, 이는 엔트로피의 경우와 유사하다. 그러나 생성자들의 선형 조합인 경우, 헬로모르픽-아날로모르픽 혼합으로 인해 추가 기여가 발생하며, 이는 효과적인 유한차원 전이 행렬의 가짜-레니이 엔트로피로 표현될 수 있다.

ABSTRACT

We study the late-time behaviors of pseudo-(Rényi) entropy of locally excited states in rational conformal field theories (RCFTs). To construct the transition matrix, we utilize two non-orthogonal locally excited states that are created by the application of different descendant operators to the vacuum. We show that when two descendant operators are generated by a single Virasoro generator acting on the same primary operator, the late-time excess of pseudo-entropy and pseudo-Rényi entropy corresponds to the logarithmic of the quantum dimension of the associated primary operator, in agreement with the case of entanglement entropy. However, for linear combination operators generated by the generic summation of Virasoro generators, we obtain a distinct late-time excess formula for the pseudo-(Rényi) entropy compared to that for (Rényi) entanglement entropy. As the mixing of holomorphic and antiholomorphic generators enhances the entanglement, in this case, the pseudo-(Rényi) entropy can receive an additional contribution. The additional contribution can be expressed as the pseudo-(Rényi) entropy of an effective transition matrix in a finite-dimensional Hilbert space.

연구 동기 및 목표

• 유리성 공변장론(RCFTs) 내 국소적으로 흥분된 상태에서 가짜-레니이 엔트로피의 만기 행동을 이해하는 것.
• 바이르소 생성자에 의해 생성된 연장 연산자의 구조가 전이 행렬과 그로 인한 가짜-엔트로피에 어떻게 영향을 주는지 분석하는 것.
• 특히 헬로모르픽 및 아날로모르픽 생성자 기여가 혼합된 경우, 가짜-레니이 엔트로피의 만기 초과가 엔트로피의 경우와 어떻게 비교되는지 분석하는 것.
• 비수직 초위상의 연장 상태 조합에서 기인하는 추가 기여를 식별하고 특성화하는 것.

제안 방법

• 두 비수직 국소 흥분 상태 $ |\psi\rangle $, $ |\varphi\rangle $를 연장 연산자에 의해 생성하고, 전이 행렬 $ \mathcal{T}^{\psi|\varphi} = \frac{|\psi\rangle\langle\varphi|}{\langle\varphi|\psi\rangle} $ 를 구성한다.
• 비에르미트이므로 주의 깊은 로그 처리가 필요한 비어터리언 부분계 $ A $ 에서의 축소 전이 행렬 $ \mathcal{T}_A^{\psi|\varphi} = \text{tr}_B[\mathcal{T}^{\psi|\varphi}] $ 를 계산한다.
• 무한차원 힐베르트 공간에서의 분岐 컷 문제를 피하기 위해 $ n \geq 2 $ 인 가짜-레니이 엔트로피 $ S_A^{(n)} = \frac{1}{1-n}\log\text{tr}[(\mathcal{T}_A^{\psi|\varphi})^n] $ 를 사용한다.
• 공변장론 기법을 활용하여 연장 연산자가 포함된 상관 함수의 만기 근사 행동을 분석한다.
• 연산자 $ \mathcal{O}^{(-n)} $ 와 $ \mathcal{O}^{(-m)\dagger} $ 를 포함하는 네점 함수의 주요 기여를 유도하고, 이를 전이 행렬 스펙트럼에 매핑한다.
• 혼합 생성자 케이스에서의 추가 만기 기여를 효과적인 유한차원 전이 행렬의 가짜-레니이 엔트로피로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2D RCFTs에서 연장 연산자에 의해 생성된 국소 흥분 상태에서, 가짜-레니이 엔트로피의 만기 행동은 어떻게 되는가?
• RQ2 두 연장 연산자가 동일한 바이르소 생성자로부터 유도될 경우, 가짜-레니이 엔트로피의 만기 초과가 원시 연산자의 양자 차원의 로그와 일치하는가?
• RQ3 두 흥분 상태가 바이르소 생성자의 선형 조합에 의해 생성될 경우, 가짜-레니이 엔트로피의 만기 행동은 어떻게 되는가?
• RQ4 혼합 생성자 케이스에서의 가짜-레니이 엔트로피 추가 기여는 효과적인 전이 행렬을 통해 체계적으로 기록하고 표현할 수 있는가?
• RQ5 헬로모르픽 및 아날로모르픽 생성자의 혼합은 만기 영역에서 엔트로피 구조에 어떻게 영향을 주는가?

주요 결과

• 두 연장 연산자가 동일한 바이르소 생성자로부터 원시 연산자에 대해 유도될 경우, 가짜-레니이 엔트로피의 만기 초과는 $ \log d_p $ 로 표현되며, 여기서 $ d_p $ 는 원시 연산자의 양자 차원이다. 이는 엔트로피의 경우와 일치한다.
• 바이르소 생성자의 선형 조합에 의해 생성된 경우, 가짜-레니이 엔트로피의 만기 초과는 엔트로피 공식과 다름을 보이며, 이는 비수직 상태 설정에서의 특별한 행동을 시사한다.
• 혼합 생성자 케이스에서의 추가 기여는 헬로모르픽-아날로모르픽 혼합에 의한 증가된 얽힘으로 인해 발생한다.
• 이 추가 기여는 유한차원 힐베르트 공간 내 효과적인 전이 행렬의 가짜-레니이 엔트로피로 정량적으로 표현된다.
• 만기에서의 네점 함수 $ \langle \mathcal{O}^{(-n)}(1)\mathcal{O}^{(-m)\dagger}(2)\mathcal{O}^{(-n)}(3)\mathcal{O}^{(-m)\dagger}(4) \rangle_{\Sigma_2} $ 의 주요 기여 행동이 유도되었으며, 이는 $ \Delta $, $ c $, 및 연산자 가중치에 명시적으로 의존함을 보여준다.
• 완전한 만기 초과 공식은 $ \Delta $, $ \Gamma(m+n) $, 및 $ (-1)^n $ 비례 항을 포함하며, 고차항 보정은 $ \Gamma(m-1) $, $ \Gamma(n-1) $, 및 $ \Gamma(m+n) $ 를 포함한다. 이는 전이 행렬 스펙트럼의 비트리비어스한 구조를 반영한다.