[논문 리뷰] Pseudo parallel contact CR-Submanifolds of Kenmotsu manifolds

Shyamal Kumar Hui, Pradip Mandal|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 28.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 레비-치비타 접속과 반대칭 메트릭 접속을 사용하여 켄모츠 다양체 내의 가짜 평행 접촉 CR-다양체를 연구한다. 특정 조건 하에서 차키 및 데스츠의 가짜 평행성 개념이 동치임을 증명하며, 접속 형식 또는 곡률 함수에 대한 특정 제약 조건이 만족될 경우, 이러한 다양체가 총지오데식일 필요충분조건으로 반대칭 메트릭 접속에 대한 가짜 평행성임을 증명한다.

ABSTRACT

The present paper deals with the study of pseudo parallel (in the sense of Chaki and in the sense of Deszcz) contact CR-submanifolds with respect to Levi-Civita connection as well as semisymmetric metric connection of Kenmotsu manifolds and prove that these corresponding two classes are equivalent with a certain condition.

연구 동기 및 목표

• 켄모츠 다양체 내의 가짜 평행 접촉 CR-다양체를 레비-치비타 접속과 반대칭 메트릭 접속을 모두 사용하여 연구하기.
• 켄모츠 다양체 내의 접촉 CR-다양체에 대해 차키 및 데스츠의 가짜 평행성 개념 간의 동치성 조사하기.
• 반대칭 메트릭 접속에 대한 가짜 평행인 경우, 어떤 조건에서 하위다양체가 총지오데식이 되는지 규명하기.
• 켄모츠 기하학의 맥락에서 다양한 유형의 가짜 평행성과 총지오데식성 간의 관계 수립하기.

제안 방법

• 켄모츠 다양체에서 레비-치비타 접속과 반대칭 메트릭 접속을 사용하여, 차키 및 데스츠 의미의 가짜 평행성을 정의한다.
• 가우스 및 바이팅거 공식을 적용하여 다양체의 유도 접속과 정규다양체의 접속 간의 관계를 규명한다.
• 리만 곡률 텐서, 제2기하형식, 접속 형식을 포함하는 곡률 항등식을 유도한다.
• 1-형식 α와 곡률 함수 L₁에 조건을 도입하여 제2기하형식 h에 미치는 영향을 분석한다.
• 항등식 (L₁ - 2)h(Y,Z) = 0을 사용하여 L₁ ≠ 2이면 h가 영이 됨을 도출함으로써 총지오데식성을 유추한다.
• 차키 의미의 가짜 평행성의 경우 접속 형식의 영향을 제거하기 위해 조건 α(ξ) ≠ -2를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 켄모츠 다양체 내의 가짜 평행 접촉 CR-다양체가 차키 및 데스츠 정의에 따라 어떤 조건에서 동치가 되는가?
• RQ2 반대칭 메트릭 접속은 켄모츠 다양체 내의 접촉 CR-다양체의 가짜 평행성과 지오데식성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 반대칭 메트릭 접속 맥락에서 차키 및 데스츠 의미의 가짜 평행성과 총지오데식성 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 특정 곡률 또는 접속 제약 조건 하에서 제2기하형식 h가 영이 될 수 있는가? 이는 총지오데식성을 암시하는가?
• RQ5 구조 벡터장 ξ는 가짜 평행성 유형 간의 동치성 결정에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 1-형식 α에 대한 특정 조건이 만족될 경우, 켄모츠 다양체 내 가짜 평행 접촉 CR-다양체는 차키 및 데스츠 정의에 대해 동치이다.
• 반대칭 메트릭 접속에 대해, α(ξ) ≠ -2일 경우, 차키 및 데스츠 의미의 가짜 평행성이 동치이다.
• α(ξ) ≠ -2 조건 하에서, 접촉 CR-다양체가 총지오데식임은 반대칭 메트릭 접속에 대한 차키 의미의 가짜 평행성과 동치이다.
• L₁ ≠ 2 조건 하에서, 접촉 CR-다양체가 총지오데식임은 반대칭 메트릭 접속에 대한 데스츠 의미의 가짜 평행성과 동치이다.
• 반대칭 메트릭 접속에 대해 L₁ = 0인 반평행 다양체는 동일 조건 하에서 총지오데식과 동치이다.
• 총지오데식성, 평행성, 반평행성, 차키 의미의 가짜 평행성(α(ξ) ≠ -2), 데스츠 의미의 가짜 평행성(L₁ ≠ 2)의 다섯 가지 조건은 반대칭 메트릭 접속 하에서 모두 상호 동치이다.