[논문 리뷰] Pseudo-physical measures for typical continuous maps of the interval

Eleonora Catsigeras, Serge Troubetzkoy|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 29.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 연속 구간 사상에서의 가짜 물리적 측도를 조사하며, 모든 에르고딕 측도가 가짜 물리적임을 증명하고, 가짜 물리적 측도의 집합이 에르고딕 측도와 주기 궤도에 지지된 원자 측도의 폐포임을 보여준다. 이 집합이 불변 측도 공간에서 미세함(meger)임을 증명하고, 각 m ≥ 2에 대해 정확히 log m의 엔트로피를 가지며 무한 엔트로피를 가진 예시를 구성함으로써, 엔트로피 함수가 상방 또는 하방 준연속이 아님을 보여준다.

ABSTRACT

We study the measure theoretic properties of typical C 0 maps of the interval. We prove that any ergodic measure is pseudo-physical, and conversely, any pseudo-physical measure is in the closure of the ergodic measures, as well as in the closure of the atomic measures. We show that the set of pseudo-physical measures is meager in the space of all invariant measures. Finally, we study the entropy function. We construct pseudo-physical measures with infinite entropy. We also prove that, for each m $\ge$ 1, there exists infinitely many pseudo-physical measures with entropy log m, and deduce that the entropy function is neither upper semi-continuous nor lower semi-continuous.

연구 동기 및 목표

• 구간에서의 일반적인 $C^0$ 사상의 측도론적 성질을 특성화하는 것, 특히 가짜 물리적 측도에 초점을 맞추는 것.
• 일반적인 $C^0$ 설정에서 에르고딕 측도, 원자 측도, 가짜 물리적 측도 간의 관계를 규명하는 것.
• 가짜 물리적 측도의 집합의 위상적 및 엔트로피 성질을 분석하는 것, 특히 크기와 엔트로피 함수에 대한 행동을 포함하는 것.
• 특정 엔트로피 값을 가지는 가짜 물리적 측도의 예를 구성하는 것, 특히 무한 엔트로피와 각 m ≥ 2에 대해 정확히 $\log m$의 엔트로피를 가지는 경우를 포함하는 것.

제안 방법

• 측도 공간의 약한* 위상과 연관된 $[0,1]$ 위의 Borel 확률 측도 공간에서 연속 함수의 가 countable dense family를 통해 측도 간의 거리를 정의하는 데 사용한다.
• 궤도 沿해 경험 측도의 약한* 극한 집합인 $p\omega(x)$의 개념을 적용하여, $p\omega(x)$가 $\varepsilon$-근처에 $\mu$로, 양의 르베그 측도를 가진 집합에서 $\mu$에 가까운 측도를 가짜 물리적 측도로 정의한다.
• 구간 분할과 이진 유사 분할에서의 측도 차이를 기반으로 측도 거리 제어를 위한 기술적 근사 보조정리를 활용한다.
• 고정점의 변형을 통해 원자 두배화 연쇄를 구성함으로써, 제어된 엔트로피를 가진 에르고딕 가짜 물리적 측도를 지지하는 불변 집합을 생성한다.
• 기호 역학과 실린더 분할을 사용하여 메트릭 엔트로피를 계산하며, 특히 $k$-블록 시스템에서 기호당 엔트로피가 $k\log 2$로 수렴함을 보여준다.
• 베어 카테고리 이론을 적용하여, 특정 성질(예: 원자 두배화 연쇄)을 가진 사상들의 집합이 $G_\delta$ 밀집임을 증명함으로써, 일반적임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 연속 구간 사상에서 모든 에르고딕 측도가 가짜 물리적일까?
• RQ2 가짜 물리적 측도의 집합은 에르고딕 측도의 집합과 주기 궤도에 지지된 원자 측도의 집합의 폐포일까?
• RQ3 모든 불변 측도 공간 내에서 가짜 물리적 측도의 집합의 위상적 크기는 얼마인가?
• RQ4 가짜 물리적 측도는 무한 메트릭 엔트로피 또는 각 m ≥ 2에 대해 정확히 $\log m$의 엔트로피를 가질 수 있는가?
• RQ5 메트릭 엔트로피 함수는 불변 측도 공간 또는 가짜 물리적 측도의 부분집합에서 상방 또는 하방 준연속인가?

주요 결과

• 일반적인 $f \in \mathcal{C}[0,1]$ 에서 모든 에르고딕 측도는 가짜 물리적이다.
• 가짜 물리적 측도의 집합은 에르고딕 측도와 주기 궤도에 지지된 원자 측도의 폐포이다.
• 가짜 물리적 측도의 집합은 불변 측도 공간에서 미세하며 내부가 공집합이다.
• 각 $m \geq 2$에 대해 정확히 메트릭 엔트로피가 $\log m$인 무한히 많은 에르고딕 가짜 물리적 측도가 존재한다.
• 원자 두배화 연쇄를 통해 구성된 무한 메트릭 엔트로피를 가진 에르고딕 가짜 물리적 측도가 존재한다.
• 메트릭 엔트로피 함수는 상방 준연속이 아니며 하방 준연속이 아니며, 가짜 물리적 측도의 부분집합으로 제한된 경우에도 마찬가지로 성립한다.