[논문 리뷰] Pseudodifferential calculus on a singular foliation

Iakovos Androulidakis, Georges Skandalis|ArXiv.org|2009. 09. 07.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 특이 폴리아션 위에서 그들의 호로니아 군oids와 관련된 C*-대수를 이용하여 허위미분계산법을 수립한다. 이는 $L^2(M)$ 위에서 양의, 무한대인, 자기수반인 연산자로서 라플라시안 연산자를 구성하며, 이 계산법을 통해 정규성과 타원성의 성질을 증명한다. 이는 컴acts한 다양체 위에서 완전한 인덱스 이론 프레임워크로 확장된다.

ABSTRACT

In a previous paper ([1]), we associated a holonomy groupoid and a C*-algebra to any singular foliation (M,F). Using these, we construct the associated pseudodifferential calculus. This calculus gives meaning to a Laplace operator of any singular foliation F on a compact manifold M, and we show that it can be naturally understood as a positive, unbounded, self-adjoint operator on L2(M).

연구 동기 및 목표

• 정규 폴리아션과는 달리 규칙성이 부족한 특이 폴리아션에 대해 허위미분계산법을 확장하기 위해.
• 특이 폴리아션을 지닌 컴팩트 다양체 위에서 종방향 라플라시안 연산자를 정의하기 위해.
• 이 라플라시안이 $L^2(M)$ 위에서 양의, 무한대인, 자기수반 연산자임을 군oids와 $C^*$-대수 프레임워크를 사용하여 보여주기 위해.
• 소볼레프 공간의 필터링과 음수 및 영차수의 허위미분연산자에 대한 $C^*$-대수적 구조를 수립하기 위해.
• 정규성과 타원성, 양의 차수를 지닌 연산자를 구성함으로써 특이 폴리아션 위에서 완전한 인덱스 이론의 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 이중-하나의 곡면과 위상적 적분을 이용한 기호를 통해 정규다발 위에서 허위미분계산법을 구성한다.
• 위상적 적분을 통해 커널을 정의한다: $k_a(u) = \text{int}_{N^*_{p(u)}} a(p(u),\theta) e^{i\theta \bullet \text{exp}^{-1}(u)} \tilde{\rho}(u) d\theta$, 여기서 $\tilde{\rho}$는 커프오프 함수이다.
• 허위미분연산자의 주요 기호는 $\mathcal{F}^*$인 코구면다발 위의 동차함수로, 차원이 일정하지 않은 벡터공간의 가중치를 지닌다.
• 허위미분커널이 $C^*$-대수 $C^*(M,\mathcal{F})$의 다중화자임을 보이며, 이러한 연산자 대수는 차수에 따라 필터링된다.
• 정확한 수열 수립: $0 \to C^*(M,\mathcal{F}) \to \Psi^*(M,\mathcal{F}) \to B \to 0$, 여기서 $B$는 $C_0(S^*\mathcal{F})$의 몫이다.
• 계산법을 적용하여 $\mathcal{F}$에 속한 유한 생성 집합의 벡터장들로부터 $\Delta = \sum X_k^*X_k$로 정의되는 라플라시안을 정의하며, 이가 종방향 타원성과 정규성을 지닌다는 것을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀로니아 군oids의 규칙성이 부족함에도 불구하고 특이 폴리아션 위에서 허위미분계산법을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 특이 폴리아션 위에서 의미 있는 라플라시안 연산자를 정의하고, 이가 $L^2(M)$ 위에서 자기수반임을 어떻게 보일 수 있는가?
• RQ3 $C^*$-대수의 역할은 허위미분연산자를 다중화자로 실현하는 데 어떤 기여를 하는가?
• RQ4 연산자의 종방향 타원성은 $C^*$-대수적 프레임워크 내에서 정규성과 가역성과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 소볼레프 공간의 필터링과 $\Psi^{-\infty}$-계산법은 특이 폴리아션으로까지 확장되어 인덱스 이론을 뒷받침할 수 있는가?

주요 결과

• 라플라시안 $\Delta = \sum X_k^*X_k$ 는 차수 2의 종방향 타원성 연산자이며, 따라서 $C^*(M,\mathcal{F})$의 정규성, 무한대, 자기수반 다중화자로 정의된다.
• 라플라시안은 $L^2(M)$ 위에서 자기수반 연산자를 유도하며, 약한 동치 표현을 포함한 자연스러운 $L^2(M)$-표현을 포함하여 동일한 스펙트럼을 가진다.
• 음수차수의 허위미분연산자는 폴리아션의 전체 및 축소된 $C^*$-대수의 원소이다.
• 영차수의 허위미분연산자는 $C^*$-대수의 유계 다중화자를 정의하며, 대수 $\Psi^*(M,\mathcal{F})$는 $C^*(M,\mathcal{F})$와 $C_0(S^*\mathcal{F})$와 정확한 수열에 들어간다.
• 계산법은 합성과 당김에 대해 닫혀 있으며, 주요 기호는 $\mathcal{F}^*$ 위의 기호의 껍질에만 의존한다.
• $\Psi^{-\infty}(\mathcal{U})$의 스무딩 연산자 대수는 $\mathcal{A}_{\mathcal{U}}$에 조밀하게 포함되어 있으며, 종방향 타원성 연산자 $P$에 대해 소볼레프 공간 $H^k(P)$는 잘 정의되어 있다.