[논문 리뷰] Pseudoholomorphic Maps Relative to Normal Crossings Symplectic Divisors: Compactification

Mohammad Farajzadeh Tehrani|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 30.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 31인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 정규교차(symplectic divisors)에 대한 편의적 힐버트 지ap의 새로운 기하적 프레임워크를 제안하며, 로그 구조(log structures)를 사용하여 특정 거의 복소 구조에서 컴act하고 메트릭화 가능한 모듈리 공간을 정의한다. 주요 기여는 확장된 분열을 통한 고전적 상대 컴팩트화보다 자주 더 작은 컴팩트화를 제공하며, 토릭 모델을 통한 변형/장애 공간의 명시적 기술과 함께 투사 맵을 포함한다.

ABSTRACT

Inspired by the log Gromov-Witten theory of Gross-Siebert/Abramovich-Chen, we introduce a geometric notion of log pseudoholomorphic map relative to simple normal crossings symplectic divisors defined in [9]. For certain almost complex structures, we show that the moduli space of stable log pseudoholomorphic maps of any fixed type is compact and metrizable with respect to an enhancement of the Gromov topology. In the case of smooth symplectic divisors, our compactification is often smaller than the relative compactification and there is a projection map from the former onto the latter. The latter is constructed via expanded degenerations of the target. Our construction does not need any modification of (or any extra structure on) the target. Unlike the classical moduli spaces of stable maps, these log moduli spaces are often virtually singular. We describe an explicit toric model for the normal cone to each stratum in terms of the defining combinatorial data of that stratum. In upcoming papers, we will define a natural Fredholm operator which gives us the deformation/obstruction spaces of each stratum and prove a gluing theorem for smoothing log maps in the normal direction to each stratum. With minor modifications to the theory of Kuranishi structures, the latter would allow us to construct a virtual fundamental class for every such log moduli space.

연구 동기 및 목표

• 간단한 정규교차 symplectic divisor에 대한 로그 편의적 힐버트 지압의 기하적 개념을 정의하기.
• 특정 거의 복소 구조에서 안정적인 로그 지압의 모듈리 공간의 컴팩트성과 메트리시티를 확립하기.
• 확장된 분열을 통한 고전적 상대 컴팩트화보다 자주 더 작은 컴팩트화를 구성하기.
• 모듈리 공간의 각 스트라툼에 대한 정규 쌍곡선을 스트라툼의 조합적 자료로부터 기하학적으로 기술하기.
• 미래 작업에서 프레드홀름 연산자와 붙임 이론을 통해 가상 기본류를 정의하기 위한 기초를 마련하기.

제안 방법

• 정규교차를 가진 symplectic divisor에 대한 편의적 힐버트 지압에 대한 로그 기하 프레임워크를 도입하기.
• Gromov 위상의 강화를 사용하여 모듈리 공간의 컴팩트성과 메트리시티를 증명하기.
• 확장된 분열을 통한 고전적 상대 컴팩트화로 향하는 로그 컴팩트화에서의 투사 맵을 구성하기.
• 스트라툼의 조합적 자료에서 유도된 명시적 토릭 모델을 사용하여 각 스트라움에 대한 정규 쌍곡선을 기술하기.
• 향후 작업에서 변형/장애 이론을 위한 프레드홀름 연산자를 제안하며, 쿠란시 구조와 호환되도록 하기.
• 각 스트라움의 정규 방향에서 로그 지압을 부드럽게 만드는 붙임 이론을 개략적으로 기술하여, 가상 기본류의 구성이 가능하게 하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 타깃 공간을 수정하지 않고 정규교차를 가진 symplectic divisor에 대한 편의적 힐버트 지압의 컴팩트한 모듈리 공간을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 로그 컴팩트화와 확장된 분열을 통한 고전적 상대 컴팩트화 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 모듈리 공간의 각 스트라움에 대한 정규 쌍곡선을 조합적 자료를 사용하여 기하학적으로 어떻게 기술할 수 있는가?
• RQ4 로그 지압의 변형/장애 공간의 구조는 무엇이며, 이를 어떻게 프레드홀름 연산자로 모델링할 수 있는가?
• RQ5 붙임 이론과 쿠란시 구조 기법을 사용하여 로그 모듈리 공간에 대해 가상 기본류를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 특정 거의 복소 구조에서, 안정적인 로그 편의적 힐버트 지압의 모듈리 공간은 강화된 Gromov 위상에서 컴팩트하고 메트릭화 가능하다.
• 로그 컴팩트화는 종종 확장된 분열을 통한 고전적 상대 컴팩트화보다 엄격히 작다.
• 로그 컴팩트화에서 고전적 상대 컴팩트화로 향하는 자연스러운 투사 맵이 존재한다.
• 모듈리 공간의 각 스트라움에 대한 정규 쌍곡선은 스트라움의 정의 조합적 자료에서 유도된 명시적 토릭 모델을 갖는다.
• 이 프레임워크는 변형/장애 이론을 위한 프레드홀름 연산자의 정의를 가능하게 하며, 붙임 이론을 통해 가상 기본류의 구성이 기대된다.
• 이론은 타깃 공간의 수정이나 배경 공간에 추가적인 구조를 도입할 필요가 없어, 고전적 접근과 구별된다.