[논문 리뷰] Pseudomomentum: origins and consequences

H. Singh, J. A. Hanna|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 12.

Experimental and Theoretical Physics Studies인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 공간 좌표, 시간, 물질 레이블에 대해 동 同시로 작용을 변형함으로써 연속체 역학에서 운동량, 에너지 및 허위운동량의 균형 법칙을 유일한 변분 프레임워크로 유도한다. 허위운동량 균형이 유체 및 탄성 구조물에서의 비틀림, 순환 및 헬리시티와 같은 핵심 보존 법칙을 뒷받침하며, 경로에 의존하지 않는 적분을 통해 제약된 탄성 막대에서의 추진력 직접 계산이 가능하다고 보여준다.

ABSTRACT

The balance of pseudomomentum is discussed and applied to simple elasticity, ideal fluids, and the mechanics of inextensible rods and sheets. A general framework is presented in which the simultaneous variation of an action with respect to position, time, and material labels yields bulk balance laws and jump conditions for momentum, energy, and pseudomomentum. The example of simple elasticity of space-filling solids is treated at length. The pseudomomentum balance in ideal fluids is shown to imply conservation of vorticity, circulation, and helicity, and a mathematical similarity is noted between the evaluation of circulation along a material loop and the J-integral of fracture mechanics. Integration of the pseudomomentum balance, making use of a prescription for singular sources derived by analogy with the continuous form of the balance, directly provides the propulsive force driving passive reconfiguration or locomotion of confined, inhomogeneous elastic rods. The conserved angular momentum and pseudomomentum are identified in the classification of conical sheets with rotational inertia or bending energy.

연구 동기 및 목표

• 공간 좌표, 시간, 물질 레이블에 대해 작용을 동시에 변형하여 운동량, 에너지 및 허위운동량 균형 법칙의 유일한 유도를 위한 것이다.
• 작용 원리에 의해 제어되는 보존 기계계에서 허위운동량의 물리적 기원과 결과를 명확히 하기 위한 것이다.
• 이deal 유체에서의 허위운동량 균형이 비틀림, 순환 및 헬리시티의 보존을 직접 암시하며, 균열역학에서의 J-적분과 수학적으로 유사하다는 것을 보여주기 위한 것이다.
• 제약된 비균일 탄성 막대의 수동 재구성에서 추진력을 계산하기 위해 허위운동량 균형을 통합할 수 있음을 보여주기 위한 것이다.
• 원추형 시트에서 회전 관성 또는 굽힘 에너지가 존재할 경우 보존되는 각운동량과 허위운동량을 식별하기 위한 것이다.

제안 방법

• 공간 위치, 시간, 물질 좌표에 대해 작용을 변형하여 부피 균형 법칙과 불연속면 조건을 도출함으로써 운동량, 에너지 및 허위운동량 균형을 얻는다.
• 물질 좌표 $\bar{\mathbf{x}}$, 공간 위치 $\mathbf{x}$, 속도 $d_t\mathbf{x}$, 변형률계수 $\mathbf{F}$ 에 의존하는 라그랑지안 밀도 $\bar{\mathcal{L}}$ 를 사용한다.
• 기저 기울기의 표현을 위해 체인 룰을 적용하여, $\partial\bar{\mathcal{L}}/\partial\mathbf{F}$, $\partial\bar{\mathcal{L}}/\partial d_t\mathbf{x}$, 및 $\mathbf{F}$ 를 통해 허위운동량 균형을 표현한다.
• Eshelby 텐서를 $\left[\frac{\partial\bar{\mathcal{L}}}{\partial\mathbf{F}}\right]^T \cdot \mathbf{F} - \bar{\mathcal{L}} \mathbf{I}$ 로 정의하며, 이는 허위운동량의 기저 유량을 의미한다.
• 간단한 탄성, 이상 유체, 비가소성 막대 및 시트, 굽힘 에너지 또는 회전 관성가 있는 원추형 구조물 등의 특정 시스템에 균형 법칙을 적용한다.
• 경로에 의존하지 않는 적분과 불연속면에서의 조건을 사용하여 힘과 보존 양을 계산하며, 순환 평가에서 J-적분 유사성을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간, 시간, 물질 좌표에 대해 작용을 동시에 변형할 때 운동량, 에너지 및 허위운동량의 일致한 균형 법칙이 어떻게 도출되는가?
• RQ2 이deal 유체에서의 비틀림, 순환 및 헬리시티 보존에 있어 허위운동량의 역할은 무엇인가?
• RQ3 제약된 탄성 막대의 수동 운동에서 허위운동량 균형을 어떻게 통합하여 추진력을 계산할 수 있는가?
• RQ4 회전 관성 또는 굽힘 에너지가 존재하는 원추형 시트에서 어떤 보존 양이 나타나며, 이들은 허위운동량과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 Eshelby 텐서는 어떻게 변분 프레임워크에서 유도되며, 이는 허위운동량의 기저 유량으로서 물리적 해석은 무엇인가?

주요 결과

• 이deal 유체에서의 허위운동량 균형은 비틀림, 순환 및 헬리시티의 보존을 직접 암시하며, 순환 평가가 균열역학에서의 J-적분과 수학적으로 유사하다.
• 연속적 형태에서 유도된 특수한 소스에 대한 규정을 사용하여 허위운동량 균형을 통합하면, 채널 내에 제약된 비균일 탄성 막대의 수동 재구성에 기여하는 추진력이 도출된다.
• Eshelby 텐서는 $\left[\frac{\partial\bar{\mathcal{L}}}{\partial\mathbf{F}}\right]^T \cdot \mathbf{F} - \bar{\mathcal{L}} \mathbf{I}$ 로 정의되며, 균형 법칙에서 허위운동량의 기저 유량으로 나타난다.
• 회전 관성 또는 굽힘 에너지가 존재하는 원추형 시트에서는 각운동량과 허위운동량이 모두 보존되며, 이들의 분류는 변분 프레임워크를 통해 명확해진다.
• 운동량, 에너지 및 허위운동량의 균형 법칙은 하나의 변분 원리에서 도출되며, 물질 불연속면에서의 점프 조건이 인터페이스에서의 일致성을 보장한다.
• 허위운동량이 물질 좌표에 대한 변형에서 기인한다는 것을 보여줌으로써, 이 프레임워크는 공간 운동량 균형과 독립적인 허위운동량 기원을 해소하여 서로 충돌하는 해석을 조율한다.