[논문 리뷰] PSL(2,Z) as a non distorted subgroup of Thompson's group T

Ariadna Fossas|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 02.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 PSL(2,Z)가 특정한 구조적 성질을 갖는 축소된 나무 쌍 다이어그램을 통해 특성화됨에 따라 톰슨 군 T 내의 비왜곡 부분군으로 포함됨을 입증한다. 조합적 나무 쌍 다이어그램과 케어트 수에 기반한 거리 추정을 통해, PSL(2,Z) 내의 단어 길이가 T 내의 단어 길이에 대해 선형으로 증가함을 증명함으로써, 왜곡이 없음을 확인하고, T 내에서 비왜곡 자유 아벨 군이 아닌 순서 2의 부분군에 대한 첫 번째 명시적 예를 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we characterize the elements of PSL(2,Z), as a subgroup of Thompson group T, in the language of reduced tree pair diagrams and in terms of piecewise linear maps as well. Actually, we construct the reduced tree pair diagram for every element of PSL(2,Z) in normal form. This allows us to estimate the length of the elements of PSL(2,Z) through the number of carets of their reduced tree pair diagrams and, as a consequence, to prove that PSL(2,Z) is a non distorted subgroup of T. In particular, we find non-distorted free non abelian subgroups of T.

연구 동기 및 목표

• PSL(2,Z)의 원소를 T의 부분군으로서 축소된 나무 쌍 다이어그램을 통해 특성화하기.
• PSL(2,Z) 원소의 축소된 나무 쌍 다이어그램과 고전적 생성자(순서 2와 3)의 정규형 사이의 전단사 관계 수립하기.
• 원소의 축소된 나무 쌍 다이어그램에 포함된 케어트 수를 이용해 PSL(2,Z)의 단어 길이 추정하기.
• PSL(2,Z)가 톰슨 군 T의 비왜곡 부분군임을 증명함으로써, T 내에서 비왜곡 자유 아벨 군이 아닌 순서 2의 부분군을 구성하기.

제안 방법

• 톰슨 군 T의 원소를 (T1, σ, T2) 형태의 나무 쌍 다이어그램의 동치류로 표현하며, T1과 T2는 같은 수의 잎을 갖는 루트를 가진 이진 나무이고 σ는 잎들의 순환치환이다.
• T1의 노출된 케어트와 그 σ 이미지가 T2에 있는 쌍을 제거함으로써 축소된 나무 쌍 다이어그램을 정의한다.
• 조각별 선형 사상 f에 관련된 k-좋은 수열 S(f)의 개념을 도입하며, Δx(f)와 Δy∘(f)가 k-미세하고, 3 ≤ j ≤ k−2 범위에서 특정 분수 조건을 만족해야 한다.
• k-미세 순열과 k-미세 나무가 각각 2^{k−2}개 존재한다는 보조정리를 활용하여 유효한 구성의 수를 세는 데 사용한다.
• 해당 나무 쌍 다이어그램이 T 내에서 PSL(2,Z)의 정의 방정식을 만족함을 검증함으로써, k-좋은 수열과 PSL(2,Z) 원소 사이의 대응 관계를 수립한다.
• Burillo, Cleary, Stein, Taback의 T 내 단어 거리에 관한 기존 결과를 활용하여, 축소된 다이어그램에 포함된 케어트 수가 단어 길이와 관련됨을 증명함으로써 왜곡이 없음을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PSL(2,Z)의 원소는 축소된 나무 쌍 다이어그램의 조합적 언어를 통해 톰슨 군 T 내에서 완전히 특성화될 수 있는가?
• RQ2 PSL(2,Z) 원소의 단어 길이와 그 축소된 나무 쌍 다이어그램에 포함된 케어트 수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 톰슨 군 T의 거리 구조를 고려할 때, PSL(2,Z)는 T의 비왜곡 부분군인가?
• RQ4 톰슨 군 T의 조각별 선형 구조를 활용하여 비왜곡 자유 아벨 군이 아닌 순서 2의 부분군에 대한 명시적 예를 만들 수 있는가?
• RQ5 PSL(2,Z)의 대수적 성질, 예를 들어 그 교환자 부분군 등은 T 내의 임bedding과 왜곡성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• T의 부분군으로서 PSL(2,Z)의 모든 원소는 각 수준에 정확히 한 개의 잎과 한 개의 내부 정점만을 포함하는 축소된 나무 쌍 다이어그램을 갖는다.
• PSL(2,Z) 원소를 나타내는 축소된 나무 쌍 다이어그램과 고전적 생성자(순서 2와 3)의 정규형 사이에 명시적 전단사 관계가 존재한다.
• PSL(2,Z) 원소의 단어 길이는 그 축소된 나무 쌍 다이어그램에 포함된 케어트 수에 대해 선형으로 증가하며, 선형 등급의 등주면적 유사한 경계를 확립한다.
• PSL(2,Z)는 톰슨 군 T의 비왜곡 부분군이며, PSL(2,Z)의 내재된 단어 거리 측도가 T의 단어 거리 측도의 제한과 준등장사상적이다.
• PSL(2,Z)의 교환자 부분군은 유한지수이면서 순서 2의 자유 아벨 군이므로, T 내에서 비왜곡성을 그대로 이어받으며, 이는 T 내에서 비왜곡 F2 부분군에 대한 첫 번째 명시적 예를 제공한다.
• 논문은 k-좋은 수열 S(f) — k-미세 Δx(f), k-미세 Δy∘(f), 그리고 특정 분수의 존재 — 가 f ∈ PSL(2,Z)이 되기 위한 필요충분조건임을 확인한다.