[논문 리뷰] PT symmetry as a necessary and sufficient condition for unitary time evolution

Philip D. Mannheim|arXiv (Cornell University)|2009. 12. 14.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비헤르미트리안 양자 시스템에서 시간에 따른 단위성(unitary time evolution)을 보장하기 위해 PT 대칭성(즉, 고유치 방정식의 실수성)이 필수적이고도 충분한 조건임을 입증한다. 모든 PT 대칭 힘스톤리안에 대해 시간에 의존하지 않는 연산자 V가 존재함을 보이며, 이는 VHV⁻¹ = H† 를 만족함으로써 시간에 따라 노름(norm)을 유지하는 V-의존 내적을 가능하게 하여, 고유치가 복소수 켤레 쌍이거나 실수이면서 완전한 경우에도 단위성을 보장한다.

ABSTRACT

While Hermiticity of a time-independent Hamiltonian leads to unitary time evolution, in and of itself, the requirement of Hermiticity is only sufficient for unitary time evolution. In this paper we provide conditions that are both necessary and sufficient. We show that $PT$ symmetry of a time-independent Hamiltonian, or equivalently, reality of the secular equation that determines its eigenvalues, is both necessary and sufficient for unitary time evolution. For any $PT$-symmetric Hamiltonian $H$ there always exists an operator $V$ that relates $H$ to its Hermitian adjoint according to $VHV^{-1}=H^{\\dagger}$. When the energy spectrum of $H$ is complete, Hilbert space norms $<\\psi_1|V|\\psi_2>$ constructed with this $V$ are always preserved in time. With the energy eigenvalues of a real secular equation being either real or appearing in complex conjugate pairs, we thus establish the unitarity of time evolution in both cases. We also establish the unitarity of time evolution for Hamiltonians whose energy spectra are not complete. We show that when the energy eigenvalues of a Hamiltonian are real and complete the operator $V$ is a positive Hermitian operator, which has an associated square root operator that can be used to bring the Hamiltonian to a Hermitian form. We show that systems with $PT$-symmetric Hamiltonians obey causality. We note that Hermitian theories are ordinarily associated with a path integral quantization prescription in which the path integral measure is real, while in contrast non-Hermitian but $PT$-symmetric theories are ordinarily associated with path integrals in which the measure needs to be complex, but in which the Euclidean time continuation of the path integral is nonetheless real. We show that through $PT$ symmetry the fourth-order derivative Pais-Uhlenbeck theory can be stabilized against transitions to states negative frequency.

연구 동기 및 목표

• 비헤르미트리안 힘스톤리안이 단위성 시간 진동을 유도할 수 있는 일반 조건을 규명하는 것.
• 헤르미트리안 조건보다 더 넓은 범위에서 필수적이지만 충분하지 않은 조건인 헤르미트리안 조건을 넘어, PT 대칭성(또는 고유치 방정식의 실수성)이 단위성에 필수적이고도 충분한 조건임을 보여주는 것.
• 모든 에너지 고유상태에 대해 노름을 보존하는 내적을 가능하게 하는 시간에 의존하지 않는 연산자 V를 H와 그 수반 H† 사이에 수립하는 것.
• 불완전한 스펙트럼을 지닌 경우와 조르당 블록 힘스톤리안으로까지 단위성을 확장하는 것.
• PT 대칭 시스템이 인과성 원칙을 따르며, 복소수 측도를 지닌 경로 적분을 통해 실수 유럽식 연장(real Euclidean continuation)을 통해 일관된 양자화가 가능함을 보여주는 것.

제안 방법

• 비헤르미트리안 시스템을 위한 표준 딜라크 노름을 대체하기 위해 V-의존 내적 ⟨Rj(t)|V|Ri(t)⟩ 을 정의하는 것.
• 스chrödinger 방정식과 그 수반을 사용하여 V-내적의 시간 진동을 유도하고, 시간 불변성을 위해 조건 VHV⁻¹ = H† 를 도출하는 것.
• 이러한 V의 존재가 시간에 따라 단위성 시간 진동을 보장하기 위해 필수적이고도 충분한 조건임을 입증하며, 고유치가 실수이든 복소수 켤레 쌍이든 관계없이 성립함을 보여주는 것.
• 고유치가 실수이면서 완전한 경우, V는 양의 헤르미트 연산자임을 보이며, 이는 헤르미트 힘스톤리안으로의 단위 변환을 가능하게 함을 보여주는 것.
• 두 수준 모델에 대해 P, T, C 연산자를 명시적으로 구성하고, PT 대칭성과 CPT 대칭성을 검증하며, C² = I 를 만족하는 정규화된 C 연산자를 구성하는 것.
• PT 대칭 이론의 경로 적분이 실수 유럽식 연장이 가능함을 보이며, 복소수 측도가 존재하더라도 일관된 양자화가 가능함을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비헤르미트리안 양자 시스템에서 시간에 따른 단위성 진동을 보장하기 위해 PT 대칭성이 필수적이고도 충분한 조건인가?
• RQ2 모든 PT 대칭 힘스톤리안에 대해 시간에 의존하지 않는 연산자 V를 수립할 수 있으며, VHV⁻¹ = H† 를 만족할 경우 노름 보존이 보장되는가?
• RQ3 복소수 켤레 고유치 쌍이나 불완전한 스펙트럼을 지닌 힘스톤리안으로도 단위성이 어떻게 확장되는가?
• RQ4 비헤르미트리안 힘스톤리안을 지닌 PT 대칭 이론에서도 인과성과 일관된 경로 적분 양자화가 유지되는가?
• RQ5 V가 정규화되지 않은 경우, C 연산자가 양의 정부호 내적을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• PT 대칭성은 표준 헤르미트리안 조건을 일반화하며, 비헤르미트리안 시스템에서 시간에 따른 단위성 진동을 보장하기 위해 필수적이고도 충분한 조건이다.
• 모든 PT 대칭 힘스톤리안 H에 대해 시간에 의존하지 않는 연산자 V가 존재하며, 이는 VHV⁻¹ = H† 를 만족함으로써 ⟨ψ₁|V|ψ₂⟩ 를 통해 시간 불변 노름을 보장한다.
• 에너지 스펙트럼이 실수이면서 완전한 경우, V는 양의 헤르미트 연산자이며, 그 제곱근을 통해 헤르미트 힘스톤리안으로의 단위 변환이 가능하다.
• 복소수 켤레 고유치를 지닌 경우에도 V-의존 내적은 시간 불변성을 유지하며, 이는 단위성을 보존한다.
• V는 유일하지 않으며, 정규화 자유도를 통해 C² = I 를 만족하는 정규화된 C 연산자를 구성할 수 있으며, 이는 CPT 대칭성을 만족한다.
• PT 대칭 이론의 경로 적분은 실수 유럽식 연장이 가능하며, 복소수 측도가 존재하더라도 일관된 양자화가 가능함을 보여준다.