[논문 리뷰] Public-Key Pseudoentanglement and the Hardness of Learning Ground State Entanglement Structure

Adam Bouland, Bill Fefferman외 5명|arXiv (Cornell University)|2023. 11. 20.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 국소 해밀토니안의 기본 상태의 얽힘 구조를 결정하는 것이, 심지어 부피 법칙과 근접 면적 법칙 얽힘 사이를 구분하는 것조차도 계산적으로 비가능하다는 것을 보여준다. 학습과 오차(LWE) 가정 하에 계산적으로 구별 불가능한 공개 키 양자 회로를 구성함으로써, 저자들은 이러한 기본 상태의 얽힘 구조를 효율적으로 학습할 수 없음을 증명한다. 핵심 결과는 2차원 기하학적으로 국소적인 해밀토니안의 가족으로, 잘린 곳에서 다항로그 또는 Ω(n)의 얽힘을 보이지만, LWE 하에 해밀토니안의 고전적 기술이 구별 불가능한 경우이다.

ABSTRACT

Given a local Hamiltonian, how difficult is it to determine the entanglement structure of its ground state? We show that this problem is computationally intractable even if one is only trying to decide if the ground state is volume-law vs near area-law entangled. We prove this by constructing strong forms of pseudoentanglement in a public-key setting, where the circuits used to prepare the states are public knowledge. In particular, we construct two families of quantum circuits which produce volume-law vs near area-law entangled states, but nonetheless the classical descriptions of the circuits are indistinguishable under the Learning with Errors (LWE) assumption. Indistinguishability of the circuits then allows us to translate our construction to Hamiltonians. Our work opens new directions in Hamiltonian complexity, for example whether it is difficult to learn certain phases of matter.

연구 동기 및 목표

• 국소 해밀토니안의 기본 상태의 정성적 얽힘 특성—특히 부피 법칙 대 비슷한 면적 법칙—을 학습하는 계산 복잡도를 조사하는 것.
• 이 학습 문제의 난이도가 단지 두 가지 질적으로 다른 얽힘 영역을 구분하는 것만을 목표로 할 때조차도 비가능하다는 것을 입증하는 것.
• 공개된 회로 기술이 있지만, 매우 다른 얽힘 구조를 가진 상태를 생성하는 양자 회로 및 해밀토니안의 명시적 가족을 구성하는 것.
• 이러한 얽힘 구조 학습의 난이도가 암호학적 가정(LWE)에 기반하며, 이러한 얽힘 구조 학습이 본질적으로 계산 복잡도에 의해 제한된다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 학습과 오차(LWE) 가정 하에 계산적으로 구별 불가능한 두 가족의 양자 회로를 구성하지만, 이는 서로 다른 엄청난 차이를 보이는 얽힘 엔트로피를 갖는 상태를 생성한다: 하나는 다항로그 얽힘을 가지며, 다른 하나는 Ω(n)의 얽힘을 가진다.
• Kitaev 시계 구성법을 통한 패딩된 회로-해밀토니안 변환을 이용해 이러한 회로들을 n×poly(n) 격자 위의 2차원 기하학적으로 국소적인 해밀토니안으로 매핑한다.
• von Neumann 엔트로피의 연속성과 스펙트럼 갭의 경계를 활용하여, 해밀토니안의 기본 상태 얽힘 구조가 회로 출력 상태의 그것과 밀접하게 유사함을 보장한다.
• 기본 상태의 얽힘 엔트로피가 다항로그 n의 작은 덧셈 오차와 (1−1/n)의 곱셈 인자 범위 내에서 유지됨을 증명함으로써, 얽힘 갭이 유지됨을 보장한다.
• 회로 가족 간의 구별 불가능성을 활용하여, LWE 하에 해밀토니안의 고전적 기술도 또한 계산적으로 구별 불가능하다는 것을 보여준다.
• LWE 기반의 손실 함수 구성법을 적용하여, 정보 이론적 얽힘은 낮지만, 모든 효율적 관찰자에게는 매우 높은 얽힘처럼 보이는 가짜양자 얽힘 상태를 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 해밀토니안의 기본 상태가 부피 법칙 또는 근접 면적 법칙 얽힘을 갖는지 판단하는 것이, 단지 두 가지 서로 다른 얽힘 영역을 구분하는 것만을 목표로 할 때조차도 계산적으로 어렵지 않은가?
• RQ2 공개된 기술이 있는 양자 회로를 구성하여, 매우 다른 얽힘 구조를 가진 상태를 생성할 수 있으며, 동시에 계산적으로 구별 불가능한가?
• RQ3 해밀토니안의 고전적 기술이 알려져 있음에도 불구하고, 효율적 관찰자에게 기본 상태의 얽힘 구조를 얼마나 숨길 수 있는가?
• RQ4 이러한 가짜양자 얽힘은 1차원 및 2차원 국소 해밀토니안으로 확장될 수 있으며, 얽힘 갭과 계산적 구별 불가능성이 유지되는가?
• RQ5 LWE와 같은 표준 암호학적 가정 하에, 기본 상태 얽힘 구조 학습의 난이도가 유지되는가?

주요 결과

• 논문은 LWE 가정 하에 계산적으로 구별 불가능한 두 가족의 양자 회로를 구성하였으며, 이는 얽힘 엔트로피에 초거대한 격차를 보이는 상태를 생성한다: 하나의 가족은 다항로그 얽힘을 가지며, 다른 하나는 Ω(n)의 얽힘을 가진다.
• 결과적으로 유도된 2차원 기하학적으로 국소적인 해밀토니안의 기본 상태는 회로 출력 상태의 얽힘 구조를 계승하며, 얽힘 엔트로피는 (1−1/n)의 곱셈 인자와 다항로그 n의 덧셈 오차 범위 내에서 유지된다.
• n×poly(n) 2차원 격자에서 경계로부터 ω(log n) 이상 떨어진 수평 컷에 대해, H_low^n에서 샘플링된 해밀토니안의 기본 상태는 얽힘 엔트로피가 O(polylog n)이며, H_high^n에서의 것은 Ω(n)의 얽힘 엔트로피를 가진다.
• H_low^n과 H_high^n에서 유도된 해밀토니안의 고전적 기술은 LWE 가정 하에 계산적으로 구별 불가능하며, 이는 어떤 효율적 알고리즘도 두 가족을 구분할 수 없음을 의미한다.
• 표준 LWE 가정 하에, 얽힘 갭은 O(n^δ) 대 Ω(n)이며, δ>0 이다. 이는 난이도가 더 작은 초다항식 격차가 존재하더라도 여전히 유지됨을 보여준다.
• 이 연구는 암호학적 난이도(LWE)와 양자 다체 시스템의 기본 성질인 얽힘 구조 학습의 계산적 비가능성 사이에 공식적인 연결 고리를 설정한다.