[논문 리뷰] Pulsating fronts for Fisher-KPP systems with mutations as models in evolutionary epidemiology

Matthieu Alfaro, Quentin Griette|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 05.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 43인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 돌연변이를 고려한 주기적 반응-확산 시스템을 통해 진화역학을 모델링하며, 비균질 환경에서 두 병원체 역학이 경쟁하는 상황에서 펄서레이팅 프론트를 구축한다. 교차 경쟁으로 인해 비교 원리가 존재하지 않음에도 불구하고, 저자들은 분기 이론을 통해 비자명한 정 steady 상태의 존재를 확립하고, 위상적 방법 및 기울기 추정을 통해 펄서레이팅 프론트의 존재를 증명한다.

ABSTRACT

We consider a periodic reaction diffusion system which, because of competition between $u$ and $v$, does not enjoy the comparison principle. It also takes into account mutations, allowing $u$ to switch to $v$ and vice versa. Such a system serves as a model in evolutionary epidemiology where two types of pathogens compete in a heterogeneous environment while mutations can occur, thus allowing coexistence.We first discuss the existence of nontrivial positive steady states, using some bifurcation technics. Then, to sustain the possibility of invasion when nontrivial steady states exist, we construct pulsating fronts. As far as we know, this is the first such construction in a situation where comparison arguments are not available.

연구 동기 및 목표

• 돌연변이가 존재하는 병원체 경쟁을 모델링하는 주기적 반응-확산 시스템에서 비자명한 양의 정상 상태의 존재를 분석하는 것.
• 경쟁과 돌연변이가 존재하는 동안 비균질 환경에서 두 병원체 역학이 공존할 수 있는 조건을 조사하는 것.
• 정상 상태가 존재할 경우, 주기적 구조를 가진 파동 유사 해인 펄서레이팅 프론트의 존재를 확립하는 것.
• 일般적으로 표준 존재 기법을 가능하게 하는 비교 원리가 없는 시스템에서 이러한 프론트를 구축하는 프레임워크를 개발하는 것.
• 공간적으로 비균일한 환경에서의 진화 역학을 위한 수학적 모델을 제공하는 것. 이는 숙주-병원체 상호작용과 질병 전파에 관련됨.

제안 방법

• 선형화된 연산자의 주된 고유값을 분기 매개변수로 삼아, 분기 이론을 사용하여 비자명한 정상 상태의 존재를 분석한다.
• 교차 경쟁으로 인한 비교 원리의 부재를 회피하기 위해, 위상적 도수 추론을 적용하여 펄서레이팅 프론트를 구축한다.
• 두 단계로 구성된 호모토피 방법을 사용한다: 첫째, 시스템을 협동형으로 변형하고, 둘째, 일관된 사전 추정을 사용하여 원래 시스템으로 복원한다.
• 타원형 시스템에 대한 버너스타인 유형 내부 기울기 추정을 적용하여, 호모토피 과정 중 해의 행동을 제어한다.
• 하르낙 부등식과 딜리클레/주기적 주요 고유값 추정을 사용하여 유계 영역 내 해의 감쇠 및 증식을 제어한다.
• 레일리 몫 추론에 의존하여, $(-R,R)$에서의 딜리클레 문제의 주요 고유값이 $R \to \infty$일 때 주기적 고유값으로 수렴함을 보여주며, 오차는 $C/R$로 유계임을 밝힌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 돌연변이와 경쟁이 존재할 때, 시스템이 비자명한 양의 정상 상태를 가질 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 교차 경쟁으로 인해 비교 원리가 없는 반응-확산 시스템에서 펄서레이팅 프론트는 어떻게 구축할 수 있는가?
• RQ3 멸종 상태 $(0,0)$에서 선형화된 연산자의 주요 고유값이 침입 가능성의 결정에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 돌연변이율과 환경의 비균일성은 병원체 역학의 공존 및 확산에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 전통적인 단조성 기법이 실패하는 시스템에서 위상적 방법과 기울기 추정을 사용하여 프론트를 구축할 수 있는가?

주요 결과

• 멸종 상태에서 선형화된 연산자의 주요 고유값이 양일 경우, 분기 분석을 통해 비자명한 양의 정상 상태가 존재함을 입증하였다.
• 비자명한 정상 상태가 존재하는 동안 비교 원리의 부재에도 불구하고, 펄서레이팅 프론트의 존재가 증명되었다.
• 위상적 및 변분 기법을 사용하여 정상 상태에 대한 사전 추정을 도출하였으며, 이는 매개변수에 관계없이 일관된 유계를 보장한다.
• 디리클레 문제에서의 주요 고유값 $(-R,R)$은 $R \to \infty$일 때 주기적 고유값으로 수렴하며, 오차는 $C/R$로 유계이다.
• 호모토피 방법은 시스템을 협동형으로 변형하고 일관된 추정을 통해 해를 추적함으로써 성공적으로 해를 구축하였다.
• 버너스타인 유형 기울기 추정은 해의 공간적 변동을 제어하여, 프론트 구축 과정에서의 컴actness 추론에 필수적인 역할을 하였다.