[논문 리뷰] Pure Point Diffraction and Mean, Besicovitch and Weyl Almost Periodicity

Daniel Lenz, Timo Spindeler외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 18.

Quasicrystal Structures and Properties참고 문헌 45인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 번역 유계 측도가 순수 점 미분산을 가질 조건을 규명하며, 평균 거의 평형성과 동치임을 보이고, 위상 문제를 해결할 조건은 비시코비치 거의 평형성과 동치이며, 균일 위상 문제(반가우스 시퀀스 선택과 무관하게)를 해결할 조건은 웨일 거의 평형성과 동치임을 증명한다—이로써 오랫동안 남아있던 미분산 이론의 핵심 문제를 해결하고 라가리아스 등이 제기한 기초적 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We show that a translation bounded measure has pure point diffraction if and only if it is mean almost periodic. We then go on and show that a translation bounded measure solves what we call the phase problem if and only if it is Besicovitch almost periodic. Finally, we show that a translation bounded measure solves the phase problem independent of the underlying van Hove sequence if and only if it is Weyl almost periodic. These results solve fundamental issues in the theory of pure point diffraction and answer questions of Lagarias.

연구 동기 및 목표

• 번역 유계 측도에 대해 평균 거의 평형성에 의한 순수 점 미분산의 특성화를 목적으로 한다.
• 비시코비치 거의 평형성이 필요하고 충분한 조건임을 규명함으로써, 미분산 이론에서 위상 문제를 해결한다.
• 반가우스 시퀀스 선택과 무관하게, 웨일 거의 평형성을 통한 균일 위상 문제의 해를 확립한다.
• 거의 평형성 개념을 스펙트럼 및 역학적 성질과 연결함으로써 조화 해석학과 미분산 이론을 통합한다.
• 라가리아스가 순수 점 미분산을 갖는 측도의 구조에 대해 제기한 기초적 질문들을 확장하고 해답을 제시한다.

제안 방법

• 번역 유계 측도 μ에 대해, 반가우스 시퀀스 沿해 Eberlein 컨볼루션을 사용하여 자가상관 측도 γ_A를 정의한다.
• Fourier–Bohr 계수 분해를 적용하여 μ 및 γ_A의 스펙트럼 성질을 분석한다.
• 지역적으로 컴acts한 아벨 군 위의 측도 맥락에서 평균, 비시코비치, 웨일 거의 평형성을 도입하고 분석한다.
• 반측도와 그 푸리에 변환을 사용하여 약한 적합성 및 푸리에 변환 가능성 성질을 연구한다.
• 임의의 반가우스 시퀀스에 沿해 평균값의 안정성과 수렴 성질을 증명하기 위해 평균화 추론 기법을 활용한다.
• 역학계 이론(TMDS)을 적용하여, 거의 평형성에 의해 순수 점 스펙트럼을 갖는 측도를 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 번역 유계 측도가 순수 점 미분산을 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 어떤 측도들이 미분산 이론에서 위상 문제를 해결하는가?
• RQ3 어떤 조건에서 반가우스 시퀀스의 선택과 무관하게 위상 문제가 균일하게 해결되는가?
• RQ4 평균, 비시코비치, 웨일 거의 평형성은 순수 점 미분산 및 스펙트럼 성질과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 반가우스 시퀀스는 미분산 스펙트럼과 위상 정보를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 번역 유계 측도가 순수 점 미분산을 갖는다 ↔ 평균 거의 평형성이다.
• 번역 유계 측도가 위상 문제를 해결한다 ↔ 비시코비치 거의 평형성이다.
• 번역 유계 측도가 균일 위상 문제를 해결한다(반가우스 시퀀스 선택과 무관하게) ↔ 웨일 거의 평형성이다.
• 자기상관 측도가 순수 점 측도가 되는 것은 정확히 기저 측도가 평균 거의 평형성일 때이다.
• 위상 문제가 해결 가능하다 ↔ 측도의 Fourier–Bohr 계수가 비시코비치 반노름에서 잘 행동한다.
• 웨일 거의 평형성은 미분산 스펙트럼이 반가우스 시퀀스 선택과 무관하게 유지됨을 보장하여, 미분산 이론의 핵심 문제를 해결한다.