[논문 리뷰] Purely elastic linear instabilities in parallel shear flows with free-slip boundary conditions

Martin Lellep, Moritz Linkmann외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 08. 06.

Rheology and Fluid Dynamics Studies참고 문헌 50인용 수 6

한 줄 요약

이 연구는 올드로이드-B 모델을 사용하여 자유스lip 경계 조건을 가진 점성유체의 평판 쿠엣 흐름과 폴루이유 흐름에 대해 선형 안정성 분석을 수행하여, 슬립 조건이 없는 경우에 비해 순수한 유성 안정성 불안정성이 존재하지 않음을 밝혀냈다. 불안정한 모드들은 슬립 조건이 없는 문제의 가장 불안정한 고유모드에서 기인하며, 이는 복잡한 유체에서 순수한 유성 난류의 발생 메커니즘과 하위임계 공진 상태를 연구할 수 있는 수치적으로 다룰 수 있는 경로를 제공한다.

ABSTRACT

We perform a linear stability analysis of viscoelastic plane Couette and plane Poiseuille flows with free-slip boundary conditions. The fluid is described by the Oldroyd-B constitutive model, and the flows are driven by a suitable body force. We find that both types of flow become linearly unstable, and we characterise the spatial structure of the unstable modes. By performing a boundary condition homotopy from the free-slip to no-slip boundaries, we demonstrate that the unstable modes are directly related to the least stable modes of the no-slip problem, destabilised under the free-slip situation. We discuss how our observations can be used to study recently discovered purely elastic turbulence in parallel shear flows.

연구 동기 및 목표

• 수치 시뮬레이션을 방해하는 강한 근접벽 기울기를 피하기 위해 자유스립 경계 조건을 가진 점성유체의 평행 유동의 선형 안정성을 조사하기 위해.
• 곡률이나 물성 분포 기울기가 없을 때에도 순수한 유성 불안정성이 나타나는지 확인하기 위해.
• 자유스립 시스템의 불안정한 모드와 해당 슬립 조건이 없는 문제의 가장 불안정한 모드 사이의 관계를 탐색하기 위해.
• 복잡한 유체에서 하위임계 공진 상태와 순수한 유성 난류의 발생을 연구하기 위한 수치적으로 단순화된 프레임워크를 제공하기 위해.
• 자유스립에서 슬립 조건으로의 경계 조건 호모토피를 통해 불안정한 고유모드를 추적하고, 도전적인 고-베이센베르크 수 영역에서 정확한 공진 상태를 발견할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 점성유체의 올드로이드-B 구성 모델을 사용하여 평판 쿠엣 및 폴루이유 흐름의 선형 안정성 분석을 수행한다.
• 채널 벽에서 유속장에 자유스립 경계 조건을 도입하여 슬립 제약 조건을 제거하고 수치적 강성도 감소시킨다.
• 선형화된 방정식의 고유값 문제를 해결하기 위해 체비셰프 다항식을 사용한 스펙트럼 콜로케이션 방법을 사용한다.
• 자유스립에서 슬립 조건으로의 경계 조건 호모토피를 수행하여 불안정한 고유모드의 진화를 추적한다.
• 불안정한 모드의 공간적 구조와 대칭성을 분석하고, 슬립 조건이 없는 시스템에서 알려진 가장 불안정한 모드와 비교한다.
• 채널 반폭 L, 최대 레이놀즈 수가 아닌 평균 유속 V₀, 그리고 L/V₀를 기반으로 차원 없는 변수를 사용하여 제어 방정식을 비차원화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 곡률이나 강한 물성 기울기가 없음에도 불구하고 자유스립 경계 조건을 가진 평행 유동에서 순수한 유성 선형 불안정성이 존재하는가?
• RQ2 자유스립 조건에서의 불안정한 고유모드는 해당 슬립 조건이 없는 문제의 가장 불안정한 모드와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 자유스립 수식은 고-베이센베르크 수 점성유체에서 하위임계 불안정성과 공진 상태를 연구하기 위한 수치적으로 안정적인 대체 수단이 될 수 있는가?
• RQ4 기본 유속 프로파일의 2차 도함수에 불안정성을 유도하는 비틀림점(inflection point)이 존재할 경우 그 역할은 무엇인가?
• RQ5 자유스립과 슬립 조건 사이의 호모토피를 통해 순수한 유성 난류와 관련된 공진 구조를 추적하고 재구성할 수 있는가?

주요 결과

• 자유스립 경계 조건을 가진 평판 쿠엣 및 평판 폴루이유 흐름은 관성 효과가 없더라도 올드로이드-B 모델 하에서 순수한 유성 선형 불안정성을 나타낸다.
• 자유스립 조건에서의 불안정한 모드는 슬립 조건이 없는 문제의 가장 불안정한 고유모드와 연속적으로 연결되어 있으며, 직접적인 역학적 연관성을 시사한다.
• 불안정성은 곡률에 기인한 환형 응력이나 물성 기울기의 영향에서 기인하지 않으며, 기본 유속 프로파일의 2차 도함수에 비틀림점이 존재하기 때문일 수 있다.
• 자유스립 수식은 슬립 조건이 없는 경우보다 고유스펙트럼을 해결하기 위해 훨씬 적은 수의 체비셰프 모드가 필요하며, 이는 수치적 해석 가능성 향상을 시사한다.
• 자유스립 평판 폴루이유 흐름의 첫 세 개 고유값은 동시에 불안정해질 수 있으며, 서로 다른 공간 대칭성을 보이며 이는 서로 다른 역학적 기원(예: 벽 모드 또는 중심선 모드)을 시사한다.
• 파장 수와 베이센베르크 수를 조절함으로써 특정한 불안정성 유형을 선택적으로 자극할 수 있으며, 이는 벽 또는 중심선 지배 공진 상태의 제어된 연구를 가능하게 한다.