[논문 리뷰] Pythagorean fuzzy graphs: Some results

Rajkumar Verma, José M. Merigó외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 15.

Multi-Criteria Decision Making참고 문헌 49인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 전통적인 퍼지 집합보다 네트워크 내 불확실성과 모호성을 더 효과적으로 모델링하기 위해 퍼지 그래프 이론의 확장으로 피타고라스 퍼지 그래프(PFGs)를 도입한다. 피타고라스 퍼지 집합—멤속도와 비멤속도가 완화된 조건을 만족하는—을 통합함으로써 저자들은 PFGs를 정의하고, 연산을 수립하며, 성질을 증명하고, 동형성, 강한 그래프, 완전성 등을 탐구하여 불확실한 데이터를 가진 복잡한 시스템에서의 의사결정을 위한 강력한 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

Graph theory has successfully used to solve a wide range of problems encountered in diverse fields such as medical sciences, neural networks, control theory, transportation, clustering analysis, expert systems, image capturing, and network security. In past few years, a number of generalizations of graph theoretical concepts have developed to model the impreciseness and uncertainties in graphical network problems. A Pythagorean fuzzy set is a powerful tool for describing the vague concepts more precisely. The Pythagorean fuzzy set-based models provide more flexibility in handling the human judgment information as compared to other fuzzy models. The objective of this paper is to apply the concept of Pythagorean fuzzy sets to graph theory. This work introduces the notion of Pythagorean fuzzy graphs (PFGs) and describes a number of methods for their construction. We then define some basic operations on PFGs and prove some of their important properties. The work also discusses the notion of isomorphism between Pythagorean fuzzy graphs with a numerical example. Further, we introduce the concept of the strong Pythagorean fuzzy graph and the complete Pythagorean fuzzy graph. In addition, the paper also proves some results on self-complementary, self-weak complementary with Pythagorean fuzzy strong graphs and Pythagorean fuzzy complete graphs.

연구 동기 및 목표

• 네트워크 모델링에서 불확실성과 모호성을 다루기 위해 고전적 그래프 이론을 피타고라스 퍼지 집합을 통합함으로써 확장하는 것.
• 정확한 수학적 구조를 갖춘 피타고라스 퍼지 그래프(PFGs)의 개념을 정의하고 체계화하는 것.
• PFGs에 대한 기본 연산을 개발하고 그 핵심 대수적 및 구조적 성질을 증명하는 것.
• 수치 예제를 통해 두 PFGs 간의 동형성을 조사하여 구조적 동치성을 검증하는 것.
• 강한 그래프와 완전한 피타고라스 퍼지 그래프를 포함한 PFGs의 특수 클래스를 도입하고 분석하며, 그 성질을 연구하는 것.

제안 방법

• 멤속도와 비멤속도가 μ² + ν² ≤ 1 조건을 만족하는 PFGs를 정의함으로써 인간 판단을 더 유연하게 표현할 수 있도록 한다.
• 합집합, 결합, 합성, 여집합과 같은 표준 연산을 PFGs에 제안하고, 그 닫힘성과 구조적 성질을 증명한다.
• 수치 예제를 통해 PFGs 간의 동형성 개념을 도입하고, 두 PFGs가 구조적으로 동치가 되는 조건을 설정한다.
• 모든 간선의 멤버십도가 그 끝점들의 멤버십도의 최솟값과 일치하는 강한 PFGs를 정의함으로써 기초 퍼지 구조와의 일관성을 확보한다.
• 모든 서로 다른 정점 쌍이 최대 멤버십도를 갖는 간선으로 연결된 완전한 PFGs를 정의하고, 완전성과 관련된 성질을 유도한다.
• 자기보완성 및 자기약보완성 PFGs를 조사하며, PFG가 여집합 또는 약보완 여집합과 동형이 되는 조건을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 피타고라스 퍼지 집합은 그래프 이론에 어떻게 공식적으로 통합될 수 있으며, 네트워크 구조의 불확실성을 어떻게 모델링할 수 있는가?
• RQ2 피타고라스 퍼지 그래프에 대한 기본 연산은 무엇이며, 어떤 성질을 만족하는가?
• RQ3 두 피타고라스 퍼지 그래프가 언제 동형이 되는가? 이를 수치 예제를 통해 어떻게 검증할 수 있는가?
• RQ4 강한 그래프와 완전한 피타고라스 퍼지 그래프는 어떤 구조적 성질을 가지며, 고전적 대응 개념과 어떻게 다를 수 있는가?
• RQ5 피타고라스 퍼지 그래프가 자기보완성 또는 자기약보완성인 조건는 무엇이며, 이러한 성질은 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 논문은 피타고라스 퍼지 그래프를 성공적으로 정의하고, 합집합, 결합, 합성과 같은 연산이 PFGs의 구조적 및 대수적 성질을 유지함을 증명한다.
• PFGs 간의 동형성이 수치 예제를 통해 검증될 수 있음을 증명하여, 불확실성 하에서 그래프 구조를 비교하는 실용적인 방법을 제공한다.
• 강한 PFGs의 개념이 체계화되었으며, 간선의 멤버십도가 끝점 멤버십도의 최솟값에 의해 결정되어 기초 퍼지 논리와의 일관성을 확보한다.
• 완전한 PFGs가 도입되었으며, 모든 정점 쌍이 최대 멤버십도를 갖는 간선으로 연결되어 있고, 그 성질이 완전성과 대칭성과 관련하여 분석되었다.
• PFG가 자기보완성 또는 자기약보완성인 조건을 도출하였으며, 이러한 그래프가 특정 대칭성 및 멤버십 제약 조건을 만족함을 보였다.
• 피타고라스 퍼지 집합에서의 완화된 제약 조건 μ² + ν² ≤ 1 덕분에 기존의 퍼지 그래프보다 인간 판단과 불확실성의 모델링에 더 높은 유연성을 보여주는 프레임워크를 제공한다.