[논문 리뷰] $q$-Supercongruences from Jackson's $_8ϕ_7$ summation and Watson's $_8ϕ_7$ transformation

Chuanan Wei|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 14.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 재미있는 Jackson의 $_8\phi_7$ 합성공식, Watson의 $_8\phi_7$ 변환, 창의적 미세분석 기법, 그리고 서로소 다항식에 대한 중국인의 나머지 정리를 사용하여 원분 다항식의 제5 및 제6거듭제곱 모듈로에서 새로운 $q$-초합동식을 수립한다. 이는 Long과 Ramakrishna의 초합동식 공식에 대한 $q$-해석을 제공하며, 더 높은 모듈로로 확장하고 고전적 결과의 정확한 $q$-변형을 포함하는 이중급수 항등식을 포함한다.

ABSTRACT

$q$-Supercongruences modulo the fifth and sixth powers of a cyclotomic polynomial are very rare in the literature. In this paper, we establish some $q$-supercongruences modulo the fifth and sixth powers of a cyclotomic polynomial in terms of Jackson's $_8ϕ_7$ summation, Watson's $_8ϕ_7$ transformation, the creative microscoping method recently introduced by Guo and Zudilin, and the Chinese remainder theorem for coprime polynomials. More concretely, we give a $q$-analogue of a nice formula due to Long and Ramakrishna [Adv. Math. 290 (2016), 773--808] and two $q$-supercongruences involving double series.

연구 동기 및 목표

• 원분다항식 $\Phi_n(q)^5$ 와 $\Phi_n(q)^6$ 의 고차 모듈로에서 $q$-초합동식을 수립하는 것 — 이는 문헌에서 흔하지 않다.
• Long과 Ramakrishna의 초합동식에 대한 $p$-진 초합동식 $\sum (6k+1)(1/3)_k^6/k!^6$ 을 더 높은 모듈로로 확장한 $q$-해석을 제공하는 것.
• 고급 $q$-급수 기법과 $q$-정수 항등식을 사용하여 고전적 하이퍼기하급수 초합동식의 $q$-변형을 제공하는 것.
• 특정 $n$ 이 3으로 나누었을 때의 합동 조건을 만족할 때 유효한 이중급수를 포함하는 두 개의 새로운 $q$-초합동식을 증명하는 것.
• Guo와 Schlosser의 이전 추측을 더 강력한 모듈로와 명시적인 $q$-변형 표현을 사용하여 증명함으로써 일반화하는 것.

제안 방법

• Jackson의 $_8\phi_7$ 합성공식과 Watson의 $_8\phi_7$ 변환을 사용하여 매개수를 가진 $q$-하이퍼기하급수 항등식을 생성한다.
• 보조 매개수를 도입하고 매개수가 1으로 수렴할 때의 극한을 분석함으로써 창의적 미세분석 기법을 적용하여 $q$-초합동식을 정밀화한다.
• 서로소 다항식에 대한 중국인의 나머지 정리를 사용하여 $[n]$ 과 $\Phi_n(q)^k$ 모듈로의 초합동식을 결합하여 $[n]\Phi_n(q)^k$ 모듈로의 더 강력한 결과를 이끌어낸다.
• $q$-정수 항등식과 $q$-시프트 팩터리얼 표기법을 사용하여 고전적 하이퍼기하급수 합의 정확한 모듈로 행동을 보이는 $q$-해석을 표현한다.
• 매개수 $a \to 1$ 일 때의 특이한 극한을 다루기 위해 $q$-설정에서 L’Hôpital의 정리를 적용하여 $a \to 1$ 극한에서의 $q$-초합동식 유도를 가능하게 한다.
• $\sum [6k+1] \frac{(q;q^3)_k^6}{(q^3;q^3)_k^6} q^{3k}$ 형태의 합에 대해 $n \mod 3$ 에 따라 $[n]\Phi_n(q)^4$ 또는 $[n]\Phi_n(q)^5$ 모듈로에서 $q$-초합동식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Long과 Ramakrishna의 고전적 초합동식 (1.2) 와 관련된 $q$-하이퍼기하급수 합에 대해 $\Phi_n(q)^5$ 와 $\Phi_n(q)^6$ 모듈로에서 $q$-초합동식을 수립할 수 있는가?
• RQ2 창의적 미세분석 기법을 $q$-하이퍼기하급수 변환과 결합하여 고차 초합동식의 $q$-해석을 도출할 수 있는가?
• RQ3 $p^{s+4}$ 와 $p^{s+5}$ 모듈로에서 합 $\sum (6k+1)(1/3)_k^6/k!^6$ 의 정확한 $q$-변형은 무엇이며, 이는 $p$-진 구조를 어떻게 반영하는가?
• RQ4 서로소 다항식의 $q$-해석과 $q$-급수 항등식을 사용하여 이중급수 $q$-초합동식을 구성하고 증명할 수 있는가?
• RQ5 $q$-정수 $[n]$ 과 원분다항식 $\Phi_n(q)$ 는 $n \equiv 1,2 \pmod{3}$ 일 때 $q$-초합동식의 모듈로를 제어하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 정리 1.1은 $n \equiv 1 \pmod{3}$ 인 경우 $[n]\Phi_n(q)^4$ 모듈로에서 $q$-초합동식을 수립하며, $[n]^2$ 과 $q^{3j}/[3j]^2$, $q^{3j-1}/[3j-1]^2$ 의 합을 포함하는 수정 항이 있다.
• 정리 1.2는 $n \equiv 2 \pmod{3}$ 인 경우 $[n]\Phi_n(q)^5$ 모듈로에서 $q$-초합동식을 증명하며, 우변은 $5[2n] \frac{(q^2;q^3)_{(2n-1)/3}^3}{(q^3;q^3)_{(2n-1)/3}^3}$ 에 비례한다.
• 보조정리 1.3은 $p^s \equiv 1 \pmod{3}$ 인 경우 $p^{s+4}$ 모듈로에서 $p$-진 초합동식을 제공하며, $\left(\frac{1}{(3j-1)^2} - \frac{1}{(3j)^2}\right)$ 의 합을 포함하는 수정 항이 있다.
• 보조정리 1.4는 $p^s \equiv 2 \pmod{3}$ 인 경우 $p^{s+5}$ 모듈로에서 $p$-진 초합동식을 제공하며, 값은 $10p^s \frac{(2/3)_{(2p^s-1)/3}^3}{(1)_{(2p^s-1)/3}^3}$ 에 비례한다.
• 정리 3.1과 3.2는 매개수 $a$, $b$, $c$, $d$ 를 포함하는 이중급수 $q$-초합동식으로 결과를 일반화하며, $r = \pm 1$ 과 $n \equiv -1 \pmod{d}$ 또는 $n \equiv 1 \pmod{d}$ 일 때 유효하다.
• 논문은 Guo와 Schlosser의 두 추측을 증명하여, 중국인의 나머지 정리의 $q$-해석과 극한 기법을 사용하여 각각 $[n]\Phi_n(q)^4$ 와 $[n]\Phi_n(q)^5$ 모듈로에서 $q$-초합동식을 수립한다.