[논문 리뷰] QCD coupling up to third order in standard and analytic perturbation theories

B. A. Magradze|ArXiv.org|2000. 10. 08.

Particle physics theoretical and experimental studies인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 레이저 W 함수를 사용하여 표준 양자 chromodynamics(양성치역) 이론(PT)과 분석적 양성치역 이론(APT)에서 두 번째 및 세 번째 순서까지 QCD의 운반 상수를 정확한 해석적 해로 제시한다. 이는 양성치역 그룹 방정식을 해결하는 데에 사용된다. 공간적 영역과 시간적 영역에서 각각 보편적인 해석적 상수 함수 $\mathcal{A}_n(Q^2,f)$ 및 $\mathfrak{A}_n(s,f)$를 유도하고, 두 번째 및 세 번째 순서에서 이러한 함수에 대한 수치 표를 제공하여 적외선 영역에서의 행동을 크게 향상시키고 계획 의존성을 감소시킨다.

ABSTRACT

We analyze two sets of specific functions, that/which form the basis of the nonpower asymptotic expansions both in the timelike and spacelike regions for single scale dependent QCD observables in the Shirkov--Solovtsov's Analytic Perturbation Theory (APT) free of unphysical singularities. These functions are explicitly derived up to the third order in the closed form in terms of the Lambert-W function. As an input we used the exact two loop and the three loop (corresponding to Padé transformed beta-function) RG solutions for common invariant coupling α_s. The elegant recurrence formulas, helpful for numerical analysis, are obtained for the both sets of the APT functions. Then we construct the global versions of APT functions using the continuity conditions (at the quark thresholds) on the α_s in the \bar{MS} scheme and give numerical results. For first three of these functions \mathfrak{A}_n(s) and {\cal A}_n(Q^2); n=1,2,3 in the large interval of the momentum transfer and energy (1 GeV

연구 동기 및 목표

• 레이저 W 함수를 사용하여 $\overline{MS}$ 계획에서 두 번째 및 세 번째 순서까지 QCD의 운반 상수에 대한 정확한 해석적 해를 유도하기 위해.
• 모든 운동량 범위에서 유효한, 쿼크의 종류에 관계없이 유효한 보편적인 해석적 상수 함수 $\mathcal{A}_n(Q^2,f)$ 및 $\mathfrak{A}_n(s,f)$를 구축하기 위해.
• 상수를 두 번째 순서의 계획 독립적 해로 전개하여 QCD 관측량의 계획 의존성을 줄이기 위해.
• 세 번째 순서까지의 $\mathcal{A}_1(Q^2,f)$, $\mathfrak{A}_1(s,f)$ 및 그 거듭제곱의 수치 평가를 제공하고, 표준 PT 및 패드 근사와의 비교를 포함하기 위해.

제안 방법

• 두 번째 및 세 번째 순서의 QCD 상수 $\alpha_s(Q^2,f)$에 대한 양성치역 그룹 방정식을 레이저 W 함수를 사용하여 풀어 정확한 닫힌 형태의 표현식을 도출하기 위해.
• 해결을 바탕으로 분산 관계를 통해 해석적 상수 $\mathcal{A}_n(Q^2,f)$ 및 $\mathfrak{A}_n(s,f)$를 정의하여 정확한 해석성과 적외선 영역 행동을 보장하기 위해.
• 복소 $Q^2$ 평면에서의 패드 근사된 세 번째 순서 상수의 허수 부분에서 스펙트럼 함수 $\tilde{\rho}_n^{(3)}(t,f)$를 유도하기 위해.
• 해석적 해를 사용하여 쿼크 종류의 임계값을 넘어서도 일관되게 연결되는 전역 보편 함수 $\mathcal{A}_n(Q^2)$ 및 $\mathfrak{A}_n(s)$를 구성하기 위해.
• 세 번째 순서 상수에 대해 반복적 근사와 패드 근사를 적용하고, 그 수치적 행동과 유효 범위를 비교하기 위해.
• $\Lambda_{\overline{MS}}=450$ MeV 조건 하에 $n=1,2,3$에 대해 다양한 $Q^2$ 및 $s$ 값에서 해석적 상수 $\mathcal{A}_n(Q^2,f)$ 및 $\mathfrak{A}_n(s,f)$의 수치 평가를 수행하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특수 함수인 레이저 W 함수를 사용하여 두 번째 및 세 번째 순서에서 QCD의 운반 상수를 정확히 어떻게 해결할 수 있는가?
• RQ2 공간적 영역과 시간적 영역에서 해석적 상수 $\mathcal{A}_n(Q^2,f)$ 및 $\mathfrak{A}_n(s,f)$의 해석적 구조와 스펙트럼 성질은 무엇인가?
• RQ3 특히 적외선 영역에서 표준 양성치역 상수 $\alpha_s(Q^2,f)$와 비교할 때 해석적 상수 $\mathcal{A}_n(Q^2,f)$ 및 $\mathfrak{A}_n(s,f)$는 어떻게 다를까?
• RQ4 세 번째 순서 상수에 대해 반복적 근사와 패드 근사의 수치적 행동과 유효 범위는 어떻게 다른가?
• RQ5 모든 에너지 스케일에서 유효한 보편적이고 쿼크 종류에 의존하지 않는 해석적 상수 함수 $\mathcal{A}_n(Q^2)$ 및 $\mathfrak{A}_n(s)$는 어떻게 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 두 번째 순서 QCD 상수는 레이저 W 함수를 사용하여 정확히 해결되었으며, $\alpha_s^{(2)}(Q^2,f) = -\frac{\beta_0}{\beta_1} \frac{1}{1 + W_{-1}(\zeta)}$ 형태로 표현되며, $\zeta$ 는 $Q^2/\Lambda^2$ 와 베타 함수 계수에 의존한다.
• 세 번째 순서 상수는 패드 근사 형태로 표현되며, $\alpha_{\text{Pade}}^{(3)}(Q^2,f) = -\frac{\beta_0}{\beta_1} \frac{1}{1 - \beta_0\beta_2/\beta_1^2 + W_{-1}(\xi)}$ 로 표현되어 해석적 계속성과 스펙트럼 함수 구성이 가능하다.
• 해석적 상수 $\mathcal{A}_n(Q^2,f)$ 및 $\mathfrak{A}_n(s,f)$ 는 분산 관계를 통해 도출되어 정확한 해석성과 적외선 영역에서의 진동 행동을 보장한다.
• 수치 표(표 7–12)는 $\Lambda = 450$ MeV 조건 하에 $Q^2$ 및 $s$ 가 1에서 200 GeV$^2$ 까지의 범위에서 $\mathcal{A}_1(Q^2,f)$, $\mathcal{A}_2(Q^2,f)$, $\mathcal{A}_3(Q^2,f)$, $\mathfrak{A}_1(s,f)$, $\mathfrak{A}_2(s,f)$, $\mathfrak{A}_3(s,f)$ 의 값을 제공한다.
• 세 번째 순서 상수에 대한 반복 근사의 유효 범위는 약 $Q^2 \sim 100$ GeV$^2$ 까지이며, 이를 초월하면 패드 근사가 더 우수한 수렴성을 보인다.
• 해석적 상수 $\mathcal{A}_1(Q^2)$ 와 $\mathfrak{A}_1(s)$ 는 적외선 영역에서 유한하고 잘 행동하며 랑두 극을 피한다. $\mathfrak{A}_1(s)$ 는 $\sqrt{s}=1$ GeV 에서 0.385 에서부터 $\sqrt{s}=200$ GeV 에서 0.121 로 감소한다.