[논문 리뷰] QML estimation of the continuously invertible EGARCH(1,1) model

Olivier Wintenberger|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 14.

Stochastic processes and financial applications인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 유한한 집합에서 연속적 역가역성의 새로운 개념을 도입함으로써, EGARCH(1,1) 모형에 대한 준최대우도추정량(QMLE)의 강한 일致성을 확립한다. 최적화를 경험적 연속적 역가역 영역으로 제한함으로써, 저자들은 강한 일치성과 점근적 정규성을 최소한의 정규성 조건 하에서 보장하는 안정적 QMLE(SQMLE)를 제안한다. 이는 EGARCH 추정에서 오랫동안 남아있던 이론적 공백을 해결한다.

ABSTRACT

We introduce the notion of continuous invertibility on a compact set for volatility models driven by a Stochastic Recurrence Equation (SRE). We prove the strong consistency of the Quasi Maximum Likelihood Estimator (QMLE) when the optimization procedure is done on a continuously invertible domain. This approach gives for the first time the strong consistency of the QMLE used by Nelson in \cite{nelson:1991} for the EGARCH(1,1) model under explicit but non observable conditions. In practice, we propose to stabilize the QMLE by constraining the optimization procedure to an empirical continuously invertible domain. The new method, called Stable QMLE (SQMLE), is strongly consistent when the observations follow an invertible EGARCH(1,1) model. We also give the asymptotic normality of the SQMLE under additional minimal assumptions.

연구 동기 및 목표

• 실제 추정 조건 하에서 Nelson(1991)의 EGARCH(1,1) 모형에서 QMLE에 대한 이론적 근거가 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 스토케스틱 재귀방정식(SRE)에 의해 구동되는 확률적 변동성 모형에 대해 유한한 집합에서 연속적 역가역성의 개념을 정의하고 체계화하기 위해.
• 최적화 영역이 연속적으로 역가역인 집합으로 제한될 경우 QMLE의 강한 일치성을 확립하기 위해.
• 실제로 관측 가능한 역가역 영역으로 최적화를 제한함으로써 일관성을 보장하는 실용적인 추정 방법—안정적 QMLE(SQMLE)—을 제안하기 위해.
• 최소한의 정규성 조건 하에서 SQMLE의 점근적 정규성을 도출하여 타당한 추론을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• SRE에 의해 구동되는 변동성 모형에 대해 유한한 집합에서 연속적 역가역성의 개념을 도입하여 안정성과 잘 정의된 우도 최적화를 보장한다.
• 진짜 매개변수가 직접 관측 불가능하더라도, 최적화 영역이 연속적으로 역가역인 집합으로 제한될 경우 QMLE가 강하게 일치함을 증명한다.
• 데이터로부터 경험적으로 연속적으로 역가역인 영역를 식별함으로써 안정적 QMLE(SQMLE)를 제안하여 실무에서의 강인성과 일관성을 확보한다.
• 역가역 영역의 컴act성과 연속성을 이용하여, 미약한 정규성 조건 하에서도 추정량의 수렴 성질을 보장한다.
• 표준 점근 이론을 적용하여 최소한의 모멘트 및 미분 가능성 가정 하에서 SQMLE의 점근적 정규성을 확립한다.
• 비관측 가능한 역가역성 조건의 실무적 성격을 다루기 위해 스토케스틱 재귀 구조와 균일 수렴 논증에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최적화 영역이 제약될 경우 EGARCH(1,1) 모형의 QMLE가 강하게 일치하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 진짜 역가역성 조건이 관측 불가능한 경우에도 일관성을 보장하는 실용적 추정 방법을 설계할 수 있는가?
• RQ3 최소한의 정규성 가정 하에서 제안된 추정량의 점근적 분포는 무엇인가?
• RQ4 유한한 집합에서 연속적 역가역성은 어떻게 경험적으로 식별하고 EGARCH 모형에서 추정을 안정화하는 데 활용할 수 있는가?

주요 결과

• 진짜 매개변수가 직접 관측 불가능하더라도, 최적화가 연속적으로 역가역인 영역로 제한될 경우 QMLE는 강하게 일치한다.
• 제안된 안정적 QMLE(SQMLE)는 데이터가 역가역적인 EGARCH(1,1) 모형을 따를 경우 강한 일치성을 보장한다.
• SQMLE는 최소한의 정규성 조건 하에서 점근적 정규성을 달성하여 타당한 통계적 추론을 가능하게 한다.
• 유한한 집합에서의 연속적 역가역성 개념은 이론적으로 탄탄하고 실무적으로 적용 가능한 안정된 추정 프레임워크를 제공한다.
• 표준 QMLE의 불안정성을 극복하기 위해, 경험적으로 식별 가능한 역가역 영역로 최적화를 제한함으로써 QMLE를 안정화하는 데 성공한다.