[논문 리뷰] Quadratic BSDEs with jumps and related non-linear expectations: a fixed-point approach ∗

Nabil Kazi-Tani, Dylan Possamaï외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 32인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고정점 접근법을 사용하여 점프를 포함한 이차 역방향 확률미분방정식(BSDE)의 유계해가 존재하고 유일함을 증명하며, 비선형 Doob-Meyer 분해와 역방향 비교정리를 증명한다. 또한 g-기대의 성질을 도출하고, 동적 위험 측도와 그 이중 표현에 응용하며, 명시적인 inf-convolution 계산을 제공한다.

ABSTRACT

We prove the existence of bounded solutions of quadratic backward SDEs with jumps, using a direct fixed point approach as in Tevzadze [36]. Under an additional standard assumption, we prove a uniqueness result, thanks to a comparison theorem. Then we study the properties of the corresponding g-expectations, we obtain in particular a non linear Doob-Meyer decomposition for g-submartingales and their regularity in time. As a consequence of this results, we obtain a converse comparison theorem for our class of BSDEs. We give applications for dynamic risk measures and their dual representation, and compute their inf-convolution, with some explicit

연구 동기 및 목표

• 직접적인 고정점 추론을 통해 점프를 포함한 이차 역방향 SDE에 대한 유계해의 존재성을 확립한다.
• 생성자에 대한 표준 적분 조건을 가정하여 비교정리를 통해 해의 유일성을 증명한다.
• 해당 BSDE와 관련된 g-기대의 구조적 성질을 연구한다.
• g-하위마르팅글의 비선형 Doob-Meyer 분해를 도출하고, 시간 정규성에 대해 분석한다.
• 결과를 동적 위험 측도에 적용하여, 이중 표현 및 inf-convolution의 명시적 계산을 포함한다.

제안 방법

• Tevzadze [36]의 영향을 받은 고정점 접근법을 사용하여 점프를 포함한 이차 BSDE의 해를 구성한다.
• 드라이버 및 점프 성분에 대한 약한 적분 조건 하에서 해의 존재성을 확립한다.
• 생성자에 대한 추가적인 표준 가정 하에서 비교정리를 적용하여 해의 유일성을 증명한다.
• 해 과정의 성질을 이용하여 g-하위마르팅글에 대한 비선형 Doob-Meyer 분해를 유도한다.
• g-기대 이론을 점프-확산 설정으로 확장하여 시간에 대한 구조적 정규성을 드러낸다.
• 이중 표현 및 inf-convolution의 명시적 계산을 통한 동적 위험 측도에 대한 응용을 개발한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정점 방법을 통해 점프를 포함한 이차 역방향 SDE에 대한 유계해 존재성을 증명할 수 있는가?
• RQ2 이러한 SDE의 해가 어떤 조건에서 유일한가?
• RQ3 점프와 이차 성장이 존재할 경우 g-기대는 어떤 구조적 성질을 보이는가?
• RQ4 이러한 맥락에서 g-하위마르팅글에 대한 비선형 Doob-Meyer 분해는 어떻게 행동하는가?
• RQ5 이러한 결과는 동적 위험 측도 및 그 이중 표현에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 직접적인 고정점 추론을 통해 점프를 포함한 이차 역방향 SDE에 대한 유계해 존재성을 증명하였으며, 이는 이전 결과를 점프-확산 사례로 확장한 것이다.
• 표준 적분 조건 하에서 비교정리를 통해 해의 유일성을 확립하였다.
• g-하위마르팅글에 대한 비선형 Doob-Meyer 분해를 도출하였으며, 분해 성분들이 시간에 대해 정규적임을 보였다.
• 연구 대상인 BSDE 클래스에 대해 역방향 비교정리를 증명하여, 해의 성질과 드라이버 행동 간의 관계를 강화하였다.
• 결과를 동적 위험 측도에 적용하여 이중 표현 및 inf-convolution의 명시적 계산을 도출하였다.