[논문 리뷰] Quadratic Chabauty for modular curves: Algorithms and examples

Jennifer S. Balakrishnan, Netan Dogra외 3명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 06.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 모듈러 곡선의 유수 >1인 경우에 대해, 특히 양의 유수와 동일한 모델-베일 랭크를 가진 야코비안을 가질 때, 유리점들을 계산하기 위한 알고리즘을 개발하고 구현한다. 이는 17-진 높이 계산과 추적-영 대응을 활용하여 국소 높이 기여가 비자명하고 악성 감소를 가진 곡선을 다룰 수 있게 하며, $X_{S_4}(13)$와 $X_{\text{ns}}^+(17)$를 포함한 여러 유수 2 및 3 모듈러 곡선에서 유리점의 전체 집합을 성공적으로 규명한다. 특히 $X_{\text{ns}}^+(17)$는 정확히 7개의 유리점이 있으며, 이는 모두 CM 점임을 증명한다.

ABSTRACT

We describe how the quadratic Chabauty method may be applied to explicitly determine the set of rational points on modular curves of genus $g>1$ whose Jacobians have Mordell--Weil rank $g$. This extends our previous work on the split Cartan curve of level 13 and allows us to consider modular curves that may have few known rational points or nontrivial local height contributions at primes of bad reduction. We illustrate our algorithms with a number of examples where we determine the set of rational points on several modular curves of genus 2 and 3: this includes Atkin--Lehner quotients $X_0^+(N)$ of prime level $N$, the curve $X_{S_4}(13)$, as well as a few other curves relevant to Mazur's Program B. We also describe the computation of rational points on the genus 6 non-split Cartan modular curve $X_{ extrm{ns}} ^+ (17)$.

연구 동기 및 목표

• 모델-베일 랭크가 유수와 동일한 모듈러 곡선에 대해 이차 샤페티 방법의 적용 범위를 확장함. 이는 국소 높이 기여가 비자명하고 소수에서 악성 감소를 가진 곡선을 포함한다.
• 마르즈의 프로그램 B와 세르의 균일성 질문과 관련된 모듈러 곡선에서 유리점을 계산하기 위한 실용적 알고리즘을 개발함.
• 특정 모듈러 곡선, 예를 들어 $X_{S_4}(13)$, $X_{\text{ns}}^+(17)$, 그리고 아티킨-레너 몫 $X_0^+(N)$에서 유리점의 전체 집합을 규명함. 이는 유리점이 희박하거나 비-CM일 경우를 포함한다.
• 큰 소수 $N$에 대해 $X_0^+(N)$의 유리점이 대부분 침묵점 또는 CM 점임을 시사하는 추측에 대한 계산적 증거를 제공함.

제안 방법

• 이 방법은 이차 샤페티 프레임워크를 사용하여 곡선의 $p$-진 점에서 $p$-진 해석 함수를 계산하며, 헤크 대칭이 코homology와 쌍대 그래프에서 자명하게 작용할 때 $p$-진 높이가 0이 되는 것을 활용한다.
• 헤케 대칭에서 추적-영 대응을 구성하여 $H^1$과 특별한 섬유의 코homology에서 자명하게 작용하게 하여, $p$-진 높이가 모든 유리점에서 식별적으로 0이 되도록 보장한다.
• 알고리즘은 $p$-진 적분과 허지 필터링을 사용하여 $p$-진 아벨-자코비 맵을 계산하며, 곡선의 특이 평면 모델을 사용하여 코homological 계산을 단순화한다.
• Magma의 함수 `Genus6PlaneCurveModel`과 $\mathbb{P}^2$의 동형을 사용하여 계수가 작은 모델과 두 개의 무한대에서의 유리점이 있는 모델을 찾으며, 이는 허지 필터링 계산을 효율적으로 가능하게 한다.
• 이 방법은 약한 헤크 대칭과 이소지와의 연결을 이용하여 $X_0^+(17^2)$의 새로운 부분의 야코비안을 분해하며, 헤크 연산자의 특성 다항식을 통해 기약 인수로 분해한다.
• LMFDB를 사용하여 $T_{31}$이 289 수준의 새로운 형식에서 헤크 대칭을 생성한다는 것을 확인하고, 두 개의 선형 독립적인 추적-영 대응을 계산하여 $p$-진 높이의 0이 되는 것을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유수 3의 모듈러 곡선 $X_{S_4}(13)$에서의 유리점 전체 집합은 무엇이며, 이 중에서 예외적인(비-CM) 점은 몇 개인가?
• RQ2 유수 6의 비분할 카르탕 곡선 $X_{\text{ns}}^+(17)$에는 몇 개의 유리점이 있으며, 이들은 모두 CM 점인가?
• RQ3 악성 감소와 비자명한 국소 높이 기여를 가진 모듈러 곡선에 대해 이차 샤페티 방법을 효과적으로 적용할 수 있는가?
• RQ4 특히 유리점이 희박한 경우에 대해, 소수 $N$에 대해 아티킨-레너 몫 $X_0^+(N)$에서의 유리점 계산에 이 방법이 어느 정도 적용 가능한가?
• RQ5 헤케 대칭 내의 추적-영 대응을 사용하여 $p$-진 높이가 0이 되도록 보장할 수 있으며, 이는 효과적인 유리점 계산을 가능하게 하는가?

주요 결과

• $X_{S_4}(13)$의 유리점은 정확히 네 개이며, 이는 $D = -3$에 해당하는 $j$-불변량을 가진 하나의 CM 점과 세 개의 예외적인 비-CM 점으로 이루어져 있다.
• $X_{\text{ns}}^+(17)$는 정확히 일곱 개의 유리점이 있으며, 이는 모두 CM 점으로, $-3, -7, -11, -12, -27, -28, -163$에 해당하는 불변량을 가진다.
• $X_{\text{ns}}^+(17)(\mathbb{Q}_{17})$에서의 17-진 높이는 헤크 대칭 내에서 두 개의 선형 독립적인 추적-영 대응이 존재하여 코homology와 쌍대 그래프에서 자명하게 작용하기 때문에 식별적으로 0이 된다.
• $X_{\text{ns}}^+(17)$의 경우, $p=31$를 사용하여 방법이 성공적으로 유리점을 계산하였으며, 여섯 개의 유한 점과 두 개의 무한대 점을 찾았고, 이는 메르쿠리-쇼프의 알려진 CM 점과 일치한다.
• 알고리즘이 $X_0^+(N)$의 유리점이 소수 $N$에 대해 대부분 침묵점 또는 CM 점임을 확인하여, 고르브라프의 추측이 고려된 유수 2 및 3의 경우를 뒷받침한다.
• 헤케 대칭이 단일 연산자에 의해 생성되고, 적절한 특이 평면 모델이 유리점이 무한대에 존재하도록 구성될 수 있는 곡선에서는 이 방법이 계산적으로 실현 가능하다.