[논문 리뷰] Quadratic $G$-BSDEs with convex generators and unbounded terminal conditions

Ying Hu, Shanjian Tang외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 27.

Stochastic processes and financial applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Briand와 Hu의 $\theta$-방법을 기반으로 한 새로운 근사 절차를 도입하고 비선형 확률적 분석을 결합하여, 볼록(또는 볼록) 생성자와 유계가 아닌 종단 조건을 가진 일차원 이차 $G$-BSDE의 해의 존재성과 유일성을 확립한다. 또한 종단 값의 지수 모멘트 조건 하에서 대각선 이차 생성자를 가진 다차원 $G$-BSDE의 잘 정의됨을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we first study one-dimensional quadratic backward stochastic differential equations driven by $G$-Brownian motions ($G$-BSDEs) with unbounded terminal values. With the help of a $θ$-method of Briand and Hu [4] and nonlinear stochastic analysis techniques, we propose an approximation procedure to prove existence and uniqueness result when the generator is convex (or concave) and terminal value is of exponential moments of arbitrary order. Finally, we also establish the well-posedness of multi-dimensional G-BSDEs with diagonally quadratic generators.

연구 동기 및 목표

• G-기대 프레임워크 하에서 종단 값이 유계가 아니고 생성자가 볼록인 일차원 이차 $G$-BSDE에 대한 해의 존재성과 유일성 결과가 부족한 문제를 다루기 위해.
• 표준 도구인 단조 수렴 정리가 직접 적용되지 않는 비선형 $G$-기대 설정에서 고전적인 단조 수렴 및 근사 기법을 확장하기 위해.
• 종단 조건의 지수 모멘트 조건 하에서 대각선 이차 생성자를 가진 다차원 $G$-BSDE의 잘 정의됨을 확립하기 위해.
• 비결정적 이차 변동 과정 $\langle B\rangle$와 비증가성 $G$-마르코프 과정 $K$가 $G$-BSDE 표현식에 존재함으로써 발생하는 도전 과제를 극복하기 위해.
• 기존의 종단 값이 유계인 이차 BSDE 결과를 임의의 지수 모멘트를 가진 유계가 아닌 종단 조건의 경우로 일반화하기 위해.

제안 방법

• Briand와 Hu의 $\theta$-방법 [4]을 $G$-BSDE 프레임워크에 적응시켜 생성자의 볼록성/볼록성 조건 하에서 해의 성장과 유일성을 제어하기 위해.
• G-BSDE에 대한 순차적 근사 체계를 활용하여, 유계 종단 값을 가진 근사 $G$-BSDE의 수열을 구성함으로써 균일한 사전 추정치를 도출하기 위해.
• BMO-마르코프 과정 추정치와 지수 모멘트 경계를 포함한 비선형 확률적 분석 기법을 사용하여 해 과정 $Y^{(m)}$과 $Z^{(m)}$의 성장을 제어하기 위해.
• 확장된 조건부 $G$-기대와 비선형 측도 집합 위의 본질적 상한 최대화 표현을 활용하여 비선형 역학을 다루기 위해.
• 반복적 적용을 통해 임의의 $\gamma > 0$에 대해 $\mathbb{\hat{E}}[\exp(\gamma \sup_t |Y^{(m)}_t|)]$의 균일한 경계를 확립하기 위해.
• 횔더 부등식과 모멘트 추정치의 반복적 정밀화를 사용하여 균일한 적분 가능성과 근사 수열이 진짜 해로 수렴하는 것을 도출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 종단 조건이 유계가 아니고 임의의 순서의 지수 모멘트를 가진 일차원 이차 $G$-BSDE의 해의 존재성과 유일성이 증명될 수 있는가?
• RQ2 생성자의 볼록성 조건 하에서 $\theta$-방법이 $G$-기대 프레임워크에 어떻게 적응되어 해의 유일성을 보장할 수 있는가?
• RQ3 생성자와 종단 조건에 어떤 조건이 성립하면 대각선 이차 구조를 가진 다차원 $G$-BSDE의 잘 정의됨이 보장되는가?
• RQ4 비결정적 이차 변동 $\langle B\rangle$와 비증가성 $G$-마르코프 과정 $K$는 근사 및 사전 추정 과정에서 어떻게 다뤄질 수 있는가?
• RQ5 비선형 기대 하에서 표준 단조 수렴 정리의 실패로 인해 고전적인 단조 수렴 방법이 $G$-BSDE에 확장 가능한가?

주요 결과

• 논문은 볼록(또는 볼록) 생성자와 지수 모멘트를 임의의 순서로 가진 $L^p$-공간에 속하는 종단 조건을 가진 일차원 이차 $G$-BSDE의 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 균일한 사전 추정치가 도출된다: 임의의 $p \geq 1$에 대해 $\mu$번의 반복을 거친 후 $\mathbb{\hat{E}}[\exp(3p\gamma\tilde{\sigma}^2 \sup_t |Y^{(m)}_t|)] \leq |\hat{A}(G)|^{\mu+1} \mathbb{\hat{E}}[\exp(24n(16n)^{\mu-1}p\gamma\tilde{\sigma}^2 |\xi|)]$.
• 근사 수열 $\{Y^{(m)}, Z^{(m)}, K^{(m)}\}$가 $Y$, $Z$, $K$의 $L^p$-노름에서 균일하게 유계임이 입증되어 극한 해로의 수렴을 보장한다.
• G-BSDE의 해는 모든 $\gamma > 0$에 대해 $\mathbb{\hat{E}}[\exp(\gamma \sup_t |Y_t|)] < \infty$를 만족함을 보여, $G$-기대 하에서 강한 적분 가능성임을 시사한다.
• 대각선 이차 생성자를 가진 다차원 $G$-BSDE의 경우, 종단 값에 동일한 지수 모멘트 조건이 성립할 때 잘 정의됨이 입증된다.
• 표준 단조 수렴과 피카르 반복의 부재를 고려하여 반복적 근사와 모멘트 추정치의 조합을 통해 $G$-프레임워크에서의 문제를 성공적으로 극복하였다.