[논문 리뷰] Quadratic variation, p-variation and integration with applications to stock price modelling

Rimas Norvaiša|ArXiv.org|2001. 08. 13.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 82인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 p-변동과 λ-변동을 사용하여 결정론적 함수에 대한 확률적 적분과 이차 변동의 새로운 프레임워크를 제안한다. 이는 고전적인 리만-스틸티jes 적분을 유계 p-변동( p < 2)을 갖는 경로로 확장한다. 왼쪽 및 오른쪽 얀 인테그랄에 대한 존재성과 체인 규칙을 확립하고, λ-적분과 브라켓 함수를 정의하며, 연속 시간 진화 모델과 옵션 가격 설정을 통해 주가 모델링에 이 те올리를 적용한다. 이 과정에서 p-변동 지수 추정이 경로 기반 헤지와 확률 과정의 근사화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

The paper develops a calculus for a class of real-valued functions having a quadratic variation. The main result is a solution of the representation problem for a class of evolutions having a quadratic variation. The result is applied to build up an asset pricing model. Also in the paper there are some results concerning an extension of the class of all semimartingales.

연구 동기 및 목표

• 유계 p-변동(p < 2)을 갖는 함수에 대한 결정론적 미적분을 개발하여, 부드럽거나 반마르팅게일 경로를 초월한 고전적 스틸티제스 적분을 확장한다.
• 조절 함수에 대해 이차 λ-변동과 브라켓 함수 [f]λ를 정의하고 특성화하여, 이차 변동에 대한 경로 기반 접근법을 가능하게 한다.
• 유계 p-변동을 갖는 함수에 대해 왼쪽 및 오른쪽 얀 인테그랄과 λ-적분을 구성하고, 존재성과 체인 규칙의 타당성을 보장한다.
• 이 이론을 연속 시간 주가 모델링에 적용하여, 확률적 가정 없이 경로 기반 옵션 가격 설정과 헤지를 가능하게 한다.
• 표본 경로로부터 p-변동 지수를 추정하고, 수렴 보장이 있는 이산 시간 스킴을 통해 연속 시간 모델을 근사화한다.

제안 방법

• 중첩된 분할 {λm}을 사용한 λ-변동 개념을 도입하여, 이중 제곱 증분의 합의 극한으로서 이차 λ-변동을 정의한다.
• 브라켓 함수 [f]λ = V 를 조절 함수로 정의하며, s < t 에 대해 V(t)−V(s) = limₘ∑[f(xmᵢ)−f(xmᵢ₋₁)]² 를 만족한다.
• p⁻¹ + q⁻¹ > 1 인 f ∈ Wp[a,b], g ∈ Wq[a,b] 에 대해 확장된 리만-스틸티제스 적분과 왼쪽/오른쪽 얀 인테그랄을 확립한다.
• 확장된 리만-스틸티제스 및 λ-적분에 대한 체인 규칙을 유도하여, p-변동 경로에서의 함수 해석학적 계산을 가능하게 한다.
• 제품 λ-적분과 확장된 도레앙 지수를 도입하여 결정론적 환경에서 확률적 진화와 유사한 해법을 가능하게 한다.
• 진화적 자산 가격 모델을 통해 주가 모델링에 이 프레임워크를 적용하여, 이산 시간 모델에 의해 거의 확실하게 연속 시간 모델을 근사할 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유계 p-변동(p < 2)을 갖는 함수에 대해 확률 측도에 의존하지 않는 경로 기반 확률적 미적분을 개발할 수 있는가?
• RQ2 조절 함수에 대해 이차 λ-변동과 관련 브라켓 함수 [f]λ 의 존재성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 p-변동을 갖는 함수에 대해 왼쪽 및 오른쪽 얀 인테그랄은 어떻게 정의되고 특성화할 수 있으며, 어떤 체인 규칙이 적용되는가?
• RQ4 p-변동 기반 적분을 사용하여 연속 시간 주가 모델을 경로 기반으로 구성하고 근사화할 수 있는가?
• RQ5 표본 경로로부터 p-변동 지수를 어떻게 추정할 수 있으며, 이는 옵션 가격 설정과 헤지에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 함수 f ∈ Qλ[a,b] 의 이차 λ-변동이 존재하는 것은, 중첩된 분할 시퀀스를 따라 증분의 제곱 합의 극한이 조절 함수 V = [f]λ 로 수렴할 때에만 성립한다.
• f ∈ Wp[a,b] 와 g ∈ Wq[a,b] 에 대해 p⁻¹ + q⁻¹ > 1 를 만족할 경우, 확장된 리만-스틸티제스 적분 ∫g df 가 존재하며 체인 규칙을 만족한다.
• 유계 p-변동(p < 2)을 갖는 함수에 대해 왼쪽 및 오른쪽 얀 인테그랄이 존재하고 잘 정의되어 있어, 경로 기반 미적분이 가능하다.
• 제품 λ-적분과 확장된 도레앙 지수를 구성하여, 증강된 선형 λ-적분 방정식의 해법이 가능해진다.
• 주가 경로가 λ-적분을 통해 모델링되는 진화적 자산 가격 모델을 제안하여, 경로 기반 옵션 가격 설정과 헤지를 가능하게 한다.
• 표본 경로로부터 p-변동 지수를 추정할 수 있으며, 이 모델은 연속 시간 역학을 이산 시간 스킴으로 거의 확실하게 근사할 수 있다.