[논문 리뷰] Quadric rank loci on moduli of curves and K3 surfaces

Gavril Farkas, Richárd Rimányi|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 03.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 30인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 대칭 이차형 사상의 핵이 주어진 질량을 가진 쌍곡선을 포함하는 분열 위치의 코homology 계열에 대한 일반 공식을 개발한다. 국소화된 Atiyah-Bott 공식을 사용하여 이 공식을 유도한다. 주요 기여는 코homology 계열을 채르 클래스의 닫힌 공식으로 표현한 것으로, 이는 곡선과 K3 표면의 모듈리 공간에서 효과적 다발의 명시적 구성, 특히 히르츠 공간의 캐논리컬 다발과 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 위의 페트리 다발을 가능하게 한다. 이 방법은 모듈리 이론에서 새로운 증명과 공식을 제공하며, 특히 노에터-레프슈츠 다발과 $K3$ 모듈리 공간 위의 호지 클래스에 대해 유의미한 결과를 이끌어낸다.

ABSTRACT

Given two vector bundles E and F on a variety X and a morphism from Sym^2(E) to F, we compute the cohomology class of the locus in X where the kernel of this morphism contains a quadric of prescribed rank. Our formulas have many applications to moduli theory: (i) we find a simple proof of Borcherds' result that the Hodge class on the moduli space of polarized K3 surfaces of fixed genus is of Noether-Lefschetz type, (ii) we construct an explicit canonical divisor on the Hurwitz space parametrizing degree k covers of the projective line from curves of genus 2k-1, (iii) we provide a closed formula for the Petri divisor on the moduli space of curves consisting of canonical curves which lie on a rank 3 quadric and (iv) construct myriads of effective divisors of small slope on M_g.

연구 동기 및 목표

• 벡터 번들의 대칭 이차형 사상의 핵이 주어진 질량을 가진 쌍곡선을 포함하는 다양체 내 위치의 코homology 계열을 계산하는 것.
• 이 공식을 고전적인 모듈리 이론 문제에 적용하여, 특히 곡선과 $K3$ 표면의 모듈리 공간 위의 다발에 대해 해결하는 것.
• 히르츠 공간 위의 캐논리컬 다발과 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 위의 페트리 다발에 대해 명시적이고 닫힌 형태의 표현을 제공하는 것.
• 보르처르즈의 결과, 즉 편광된 $K3$ 표면의 모듈리 공간 위의 호지 클래스가 노에터-레프슈츠 유형임을 보여주는 새로운 직접적 증명을 제공하는 것.
• canonical 포함에서 질량 4 쌍곡선 위에 놓인 곡선의 다발이 존재함을 증명하고 그 계열을 계산하는 것.

제안 방법

• 저자들은 국소화된 Atiyah-Bott 유형 공식을 사용하여, 사상 $\phi: \mathrm{Sym}^2(\mathcal{E}) \to \mathcal{F}$ 의 핵이 최소한 $r$의 코랭크를 가진 쌍곡선을 포함하는 분열 위치의 코homology 계열을 $\mathcal{E}$ 와 $\mathcal{F}$ 의 채르 클래스로 표현한다.
• 이 위치가 기대되는 다발이 되는 경우, 단순화된 공식을 유도한다: $[\overline{\Sigma}^r_{e,f}(\phi)] = A_e^r \left( c_1(\mathcal{F}) - \frac{2f}{e}c_1(\mathcal{E}) \right)$, 여기서 $f = \binom{e+1}{2} - \binom{r+1}{2}$.
• 이 공식을 $K3$ 표면의 모듈리 공간에 적용하기 위해, 유니버설 패밀리 위에서 대칭 사상의 핵을 통해 호지 클래스를 노에터-레프슈츠 다발로 표현한다.
• 성질이 $2k-1$인 곡선에서 $\mathbb{P}^1$ 으로의 차수 $k$ 쌍대 덮개를 파라미터화하는 히르츠 공간에 대해, 캐논리컬 번들이 질량 3 쌍곡선 위에 놓일 때의 위치를 이용하여 명시적 캐논리컬 다발을 구성한다.
• 정리 1.1의 공식을 사용하여, 캐논리컬 포함에서 질량 4 쌍곡선 위에 놓인 곡선의 다발 $\overline{\mathfrak{H}}_{k}^{\mathrm{rk}4}$ 을 정의하고 그 계열을 계산한다.
• 이 다발 계열이 효과적임을 확인하고, 압축된 히르츠 공간 $\widetilde{\mathcal{H}}_k$ 위에서 $\lambda$, $\gamma$, 및 경계 다발 $[D_0]$ 로의 표현을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 벡터 번들의 대칭 사상의 핵이 주어진 질량을 가진 쌍곡선을 포함하는 위치의 코homology 계열이 채르 클래스의 명시적 표현으로 계산될 수 있는가?
• RQ2 편광된 $K3$ 표면의 모듈리 공간에서 성질 $g$ 의 호지 클래스가 노에터-레프슈츠 다발에 의해 지지되는가? 그리고 이는 분열 위치 공식을 통해 증명될 수 있는가?
• RQ3 성질이 $2k-1$인 곡선에서 $\mathbb{P}^1$ 으로의 차수 $k$ 덮개를 파라미터화하는 히르츠 공간 위에 명시적 캐논리컬 다발을 구성할 수 있는가?
• RQ4 성질이 $2k-1$인 곡선의 모듈리 공간 위에서 캐논리컬 포함에서 질량 4 쌍곡선 위에 놓인 곡선으로 이루어진 다발의 계열은 무엇인가?
• RQ5 제한된 질량을 가진 쌍곡선 위에 놓인 곡선의 위치들이 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 위에서 작은 기울기의 효과적 다발을 유도하는가?

주요 결과

• 논문은 $\mathrm{Ker}(\phi)$ 가 최소한 $r$의 코랭크를 가진 쌍곡선을 포함하는 위치의 코homology 계열에 대한 일반 공식을 제공한다. 이는 $[\overline{\Sigma}^r_{e,f}(\phi)] = A_e^r \left( c_1(\mathcal{F}) - \frac{2f}{e}c_1(\mathcal{E}) \right)$ 로 표현되며, $f = \binom{e+1}{2} - \binom{r+1}{2}$ 이다.
• 이 공식을 통해 편광된 $K3$ 표면의 성질 $g$ 의 모듈리 공간 위의 호지 클래스 $\lambda$ 가 노에터-레프슈츠 유형임을 보여주며, 보르처르즈의 결과에 대한 새로운 직접적 증명을 제공한다.
• 성질이 $2k-1$인 곡선에서 $\mathbb{P}^1$ 으로의 차수 $k$ 덮개를 파라미터화하는 히르츠 공간 $\mathcal{H}_k$ 위에, 캐논리컬 번들이 질량 3 쌍곡선 위에 놓일 때의 위치를 이용하여 명시적 캐논리컬 다발을 구성한다.
• 캐논리컬 곡선이 질량 3 쌍곡선 위에 놓인 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 위의 페트리 다발은 분열 위치 방법을 통해 닫힌 공식을 얻는다.
• 캐논리컬 포함에서 질량 4 쌍곡선 위에 놓인 성질 $2k-1$의 곡선의 다발 $\overline{\mathfrak{H}}_{k}^{\mathrm{rk}4}$ 는 $\widetilde{\mathcal{H}}_k$ 위에서 $[\overline{\mathfrak{H}}_{k}^{\mathrm{rk}4}] = A_k^{k-4} \left( \frac{5k+12}{k}\lambda + \frac{k-6}{k}\gamma - [D_0] \right)$ 로 표현되며, $A_k^{k-4}$ 는 알려진 조합 계수이다.
• 이 방법은 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 위에서 수많은 작은 기울기의 효과적 다발을 생성하며, $k \geq 12$ 인 경우 $7\lambda - \delta_0$ 는 크고, 브릴-노이만 위치의 이미지를 포함하지 않는 효과적 다발을 포함한다.