[논문 리뷰] Qualitative Analysis and Numerical Simulation of Equations of the Standard Cosmological Model: $\Lambda ot=0$

Yurii Ignat’ev|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 28.

Material Science and Thermodynamics참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 질량이 있는 스칼라 장과 영인플레이션 상수(Λ = 0)를 가진 표준 천체역학 모형의 정성적 및 수치적 행동을 조사한다. 동역적 시스템 이론과 수치 시뮬레이션을 통해, 위상공간 (Φ, Φ̇)에서 원점에 안정한 중심이 존재함을 보이며, 이는 평균값이 −1/2인 진동하는 우주적 가속도를 유도한다. 이는 만능론적 우주에서의 장기적인 비상대론적 시대를 암시한다. 결과적으로 Λ가 없더라도 이 모형은 자연스럽게 평탄하고 안정적이며 비상대론적인 만능론적 우주를 지지한다.

ABSTRACT

On the basis of qualitative analysis of the system of differential equations of the standard cosmological model it is shown that in the case of zero cosmological constant this system has a stable center corresponding to zero values of potential and its derivative at infinity. Thus, the cosmological model based on single massive classical scalar field in infinite future would give a flat Universe. The carried out numerical simulation of the dynamic system corresponding to the system of Einstein - Klein - Gordon equations showed that at great times of the evolution the invariant cosmological acceleration has an oscillating character and changes from $-2$ (braking), to $+1$ (acceleration). Average value of the cosmological acceleration is negative and is equal to $-1/2$. Oscillations of the cosmological acceleration happen on the background of rapidly falling Hubble constant. In the case of nonzero value of the cosmological constant depending on its value there are possible three various qualitative behavior types of the dynamic system on 2-dimensional plane $(\Phi,\dot{\Phi})$, which correspond either to zero attractive focus or to stable attractive knot with zero values of the potential and its derivative. Herewith the system asymptotically enters the secondary inflation. Carried out numerical simulation showed that at cosmological constant $\Lambda<m^2 3\cdot10^{-8}$ the macroscopic value of the cosmological acceleration behaves itself similar to the case $\Lambda=0$, i.e. in the course of the cosmological evolution there appears a lasting stage when this value is close to $-1/2$ which corresponds to non-relativistic equation of state. In this article, the results of qualitative and numerical analysis, obtained in Yu. Ignat'ev, arXiv:1609.00745 [gr-qc], common to the case of a non-zero cosmological term.

연구 동기 및 목표

• 우주상수(Λ = 0)가 없는 상황에서 아인슈타인-클라인-고어드 시스템의 정성적 행동을 분석하는 것.
• 단일 질량이 있는 스칼라 장을 가진 천체역학 모형이 평탄하고 안정적이며 비상대론적인 만능론적 우주를 유도할 수 있는지 조사하는 것.
• Λ = 0 조건 하에서 척도 인자, 허블 파라미터 및 우주적 가속도의 장기적 역학을 규명하는 것.
• 만능론적 우주의 진화 과정에서 비상대론적 상태방정식이 어떻게 나타나는지 탐색하는 것.
• 우주상수가 매우 작지만 비영일 경우(Λ ≲ 3×10⁻⁸) 결과의 탄력성을 평가하는 것.

제안 방법

• 코마프론 시간 스케일링(τ = mt)을 사용하여 아인슈타인-클라인-고어드 시스템을 변수 (Φ, Z = Φ̇)에서 차원이 없는 자율 동역적 시스템으로 축소시켰다.
• 일반 미분방정식의 정성적 이론을 적용하여 특이점을 분류하고 안정성(예: 중심, 집중점, 노드)을 결정하였다.
• 불변 우주적 가속도 Ω(τ) = 1 + H′ₘ/H²ₘ를 유도하고, 수치적 통합을 통해 그 진동 행동을 분석하였다.
• 장기적인 시간 스케일(τ ≈ 1000–10000)에서 Φ, Z, Hₘ, a(τ), Ω(τ)의 진화를 추적하기 위해 수치 시뮬레이션을 수행하였다.
• N개의 주기(Δτ = N·2π) 동안의 시간 평균 우주적 가속도를 정의하여 장기적 경향을 추출하였다.
• 다양한 Λₘ 값(Λₘ = 0 및 작은 Λₘ 포함)에 대해 (Φ, Z) 평면에서 위상 평면 분석을 수행하여 행동을 분류하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Λ = 0 조건에서 표준 천체역학 모형의 동역적 시스템이 위상공간 (Φ, Φ̇)에서 안정한 중심을 가지는가?
• RQ2 Λ = 0 조건에서 우주적 가속도 Ω(τ)의 장기적 행동은 어떠한가? 비영인 평균을 가지는 진동을 보이는가?
• RQ3 이 모형은 우주상수가 없더라도 장기적인 비상대론적 시대(w ≈ 0)를 자연스럽게 생성할 수 있는가?
• RQ4 우주상수가 매우 작지만 비영일 경우(Λₘ ≲ 3×10⁻⁸) 시스템은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 작은 Λ 조건에서 평균 우주적 가속도 Ω̄(τ)가 만능론적 한계에서 일정한 값으로 수렴하는가?

주요 결과

• Λ = 0 인 경우, 시스템은 (Φ, Φ̇) = (0, 0)에서 유일한 안정한 중심을 가지며, 이는 위상공간 내 주기적이고 유계된 진동을 나타낸다.
• 불변 우주적 가속도 Ω(τ)는 τ 기준 약 2π의 주기로 지속적인 진동을 보이며, −2(감속)에서 +1(가속) 사이를 오가며 변한다.
• 시간 평균 우주적 가속도 Ω̄(τ)는 장기간에 걸쳐 −1/2로 수렴하며, 이는 비상대론적 상태방정식(w = 0)에 해당한다.
• 작은 Λₘ ≤ 3×10⁻⁸ 조건에서는 시스템의 장기적 행동이 Λ = 0 경우와 유사하며, 평균 가속도는 여전히 약 −1/2에 머물러 있다.
• 허블 파라미터 Hₘ(τ)는 시간이 지남에 따라 급격히 감소하는 반면, 척도 인자 a(τ)는 초지수적으로 증가하며, τ ≈ 10⁴일 때 ln a(τ)의 값이 약 ∼9566에 도달한다.
• Λₘ > 4/3일 경우, 시스템은 원점에서 안정한 노드로 전이되며, 이는 디 de Sitter 유사 상태로 점점 수렴하는 것을 의미하지만, 관측된 Λ의 물리적으로 관련된 범위를 벗어난다.