[논문 리뷰] Qualitative analysis of dynamic equations on time scales

Syed Abbas|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 02.

Nonlinear Differential Equations Analysis인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 균일 수렴과 Weierstrass M-검사를 사용하여 시간 척도 상의 동적 방정식에 대한 $\epsilon$-근사해의 존재성과 Picard-Lindel"of 정리를 수립한다. 비록 립시츠 조건이 필요하지 않다는 것이 증명되었고, 지연 동적 방정식의 조각별로 일정한 근사에서 지수 안정성이 유지됨을 보였다.

ABSTRACT

In this article, we establish the Picard-Lindelof theorem and approximating results for dynamic equations on time scale. We present a simple proof for the existence and uniqueness of the solution. The proof is produced by using convergence and Weierstrass M-test. Furthermore, we show that the Lispchitz condition is not necessary for uniqueness. The existence of epsilon-approximate solution is established under suitable assumptions. Moreover, we study the approximate solution of the dynamic equation with delay by studying the solution of the corresponding dynamic equation with piecewise constant argument. We show that the exponential stability is preserved in such approximations.

연구 동기 및 목표

• rd-연속성과 균일 수렴을 사용하여 시간 척도 상의 동적 방정식에 대한 Picard-Lindel"of 정리를 수립한다.
• 해의 유일성에 있어 립시츠 조건이 필요하지 않다는 것을 보여준다.
• 적절한 가정 하에 $\epsilon$-근사해의 존재성을 증명한다.
• 조각별로 일정한 근사 모델을 통해 지연 동적 방정식의 근사해를 분석한다.
• 원래 시스템의 지수 안정성이 조각별로 일정한 근사 과정에서 유지됨을 보여준다.

제안 방법

• 해의 존재성을 확보하기 위해 Picard 반복의 균일 수렴을 Weierstrass M-검사를 사용하여 증명한다.
• 시간 척도 상에서 델타 미분과 델타 적분 프레임워크를 적용하여 동적 방정식을 정의한다.
• 지연 동적 방정식을 모델링하기 위해 조각별로 일정한 근사 방법을 도입한다.
• 정확한 해와 근사해 사이의 오차를 제한하기 위해 그론발-벨만 유형 부등식을 적용한다.
• 시간 척도 상의 지수 함수 $e_p(t,t_0)$를 사용하여 안정성 특성을 분석한다.
• 지연된 상태를 근사하기 위해 $\gamma_h(t)$를 이산화 연산자로 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 립시츠 조건 없이 시간 척도 상의 동적 방정식에 대해 Picard-Lindel"of 정리를 수립할 수 있는가?
• RQ2 시간 척도 상의 동적 방정식에 대해 $\epsilon$-근사해가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 조각별로 일정한 근사 방법을 사용할 때 지연 동적 방정식의 지수 안정성이 어떻게 유지되는가?
• RQ4 Picard 반복의 수렴과 시간 척도 상의 해 존재성 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 지연 동적 방정식의 정성적 행동은 조각별로 일정한 근사 시스템을 통해 효과적으로 근사될 수 있는가?

주요 결과

• 립시츠 조건 없이 균일 수렴과 Weierstrass M-검사를 사용하여 시간 척도 상의 동적 방정식에 대해 Picard-Lindel"of 정리를 증명하였다.
• rd-연속성과 함수 $f$의 유계성 등의 적절한 가정 하에 $\epsilon$-근사해의 존재성이 입증되었다.
• 지연 동적 방정식의 영해에 대한 지수 안정성이 조각별로 일정한 근사 모델을 통해 유지됨을 보였다.
• 정확한 해 $y(\phi)(t)$와 근사해 $z_h(t)$ 사이의 오차는 $v(0)$, 최대 편차 $w(y,h,2\tau)$, 그리고 $M^*$를 포함하는 적분 항을 포함하는 표현으로 유계이며, 이 유계는 지수적으로 감소한다.
• 오차는 $h \to 0$일 때 0으로 수렴하며, $\lambda_0 = \lambda - e^{\lambda(2h+\tau)}L > 0$일 경우 시스템은 여전히 지수적으로 안정하다.
• 증명 결과로 $\|E_h(t)\| \leq v(t) \leq \left(v(0) + \cdots \right) e_{-\lambda_0}(t,0)$임을 보여, 근사해의 점근적 안정성을 의미한다.