[논문 리뷰] Qualitative Analysis of Polycycles in Filippov Systems

Kamila da S. Andrade, Otávio M. L. Gomide외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 28.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 13인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 불연속성 경계에서 발생하는 스위칭 만곡면 상에 존재하는 특이점과 정규 궤도로 이루어진 폐곡선인 폴리사이클의 개념을 필리포프 시스템으로 확장한다. 이는 불연속성이 발생하는 스위칭 만곡면 상에서의 폴리사이클의 편차 분석을 위한 방법을 개발하고, 이를 통해 분기 다이어그램을 유도함으로써 조각별 미끄러운 동역학계에서 최소 집합 근처에서 발생하는 구조적 변화를 규명한다.

ABSTRACT

In this paper, we are concerned about the qualitative behaviour of planar Filippov systems around some typical minimal sets, namely, polycycles. In the smooth context, a polycycle is a simple closed curve composed by a collection of singularities and regular orbits, inducing a first return map. Here, this concept is extended to Filippov systems by allowing typical singularities lying on the switching manifold. Our main goal consists in developing a method to investigate the unfolding of polycycles in Filippov systems. In addition, we applied this method to describe bifurcation diagrams of Filippov systems around certain polycycles.

연구 동기 및 목표

• 부드러운 동역학계에서의 고전적 폴리사이클 개념을 스위칭 만곡면 상에 특이점이 존재할 수 있는 필리포프 시스템으로 확장하는 것.
• 비스무스 평면 시스템에서 폴리사이클의 편차를 체계적으로 분석하기 위한 방법을 개발하는 것.
• 특정 폴리사이클 주변에서 분기 다이어그램을 구성하기 위해 이 방법을 적용하여 시스템 역학의 전이를 드러내는 것.

제안 방법

• 필리포프 시스템에서 스위칭 만곡면 상에 위치한 일반적인 특이점을 포함하도록 폴리사이클의 정의를 확장하는 것.
• 필리포프 시스템에 적합하게 조정된 첫 번째 복귀 사상 개념을 사용하여 폴리사이클 근처의 역학을 분석하는 것.
• 조각별 미끄러운 동역학계 이론의 기법을 활용하여 폴리사이클의 구조적 안정성과 편차를 연구하는 것.
• 파arameter 변화에 따른 폴리사이클의 위상적 구조 변화를 추적하여 분기 다이어그램을 구성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스위칭 만곡면 상의 불연속성이 존재하는 필리포프 시스템으로 폴리사이클 개념을 일반화할 수 있는가?
• RQ2 필리포프 시스템에서 작은 파라미터 편미분에 의해 폴리사이클이 어떻게 편차를 겪는가?
• RQ3 비스무스 시스템에서 폴리사이클 근처의 역학에서 분기는 어떻게 나타나는가?

주요 결과

• 논문은 스위칭 만곡면 상의 특이점을 포함시킴으로써 폴리사이클을 필리포프 시스템으로 성공적으로 일반화하여 불연속 역학에서 최소 집합의 분석을 가능하게 하였다.
• 폴리사이클의 편차를 연구하기 위한 새로운 방법이 개발되어 조각별 미끄러운 시스템에서 국소 분기 분석을 위한 프레임워크를 제공한다.
• 이 방법을 통해 폴리사이클 주변에서 시스템 행동의 전이를 묘사하는 상세한 분기 다이어그램을 구성할 수 있었다.
• 이 접근법은 폴리사이클의 위상적 구조에서 기인하는 불연속성 유도 분기의 발생 원리를 드러내어 비스무스 시스템에서의 복잡한 역학에 대한 통찰을 제공한다.