[논문 리뷰] Quantifying knowledge with a new calculus for belief functions - a generalization of probability theory

Timber Kerkvliet, Ronald Meester|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 02.

Bayesian Modeling and Causal Inference참고 문헌 14인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 콜모고로프의 가환성 공리를 더 유연하고 지식론적으로 기반한 프레임워크로 대체함으로써 확률 이론을 일반화하는 belief function의 새로운 미적분을 제안한다. 덤페스트의 조합 규칙을 기각하고, 느슨한 일관성 조건을 갖춘 베팅 기반 해석을 제안함으로써, 법정 및 도박적 맥락에서 무지와 비가환 불확실성을 더 잘 모델링할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

We first show that there are practical situations in for instance forensic and gambling settings, in which applying classical probability theory, that is, based on the axioms of Kolmogorov, is problematic. We then introduce and discuss Shafer belief functions. Technically, Shafer belief functions generalize probability distributions. Philosophically, they pertain to individual or shared knowledge of facts, rather than to facts themselves, and therefore can be interpreted as generalizing epistemic probability, that is, probability theory interpreted epistemologically. Belief functions are more flexible and better suited to deal with certain types of uncertainty than classical probability distributions. We develop a new calculus for belief functions which does not use the much criticized Dempster's rule of combination, by generalizing the classical notions of conditioning and independence in a natural and uncontroversial way. Using this calculus, we explain our rejection of Dempster's rule in detail. We apply the new theory to a number of examples, including a gambling example and an example in a forensic setting. We prove a law of large numbers for belief functions and offer a betting interpretation similar to the Dutch Book Theorem for probability distributions.

연구 동기 및 목표

• 고전적 확률 이론이 지식론적 불확실성을 모델링하는 데서 나타나는 한계를 해결하기 위해.
• 부족한 믿음과 부정의 믿음 사이를 구분할 수 없는 문제를 해결하기 위해, 고전적 확률 이론이 표현할 수 없는 바를 해결하기 위해.
• 특히 집단 수준의 정보만 가용할 때, 균일한 사전 확률을 가정하지 않고도 무지를 모델링할 수 있는 형식적 프레임워크를 제공하기 위해.
• 논란의 여지가 있는 덤페스트의 조합 규칙을 피하는 비가환성의 일관된 미적분을 개발하기 위해.
• Dutch Book 정리와 유사한 베팅 해석을 정립하여, 부분 지식 하에서 합리적인 의사결정에 기반한 신뢰도 함수의 이론적 기반을 마련하기 위해.

제안 방법

• Kolmogorov의 가환성 공리(axiom)를 부분 지식 집합 S ⊆ Ω 하에서 보장되는 수익을 기반으로 한 새로운 일관성 조건 (B2*)로 대체한다.
• 신뢰도 함수 Bel: 2^Ω → [0,1]를 정의하며, Bel(Ω) = 1 이고 부분집합 S에 대해 새로운 지배 조건 (B2*)를 만족시킨다.
• 기본 신뢰 할당(mass function) m(S)를 특정 부분집합 S에 대한 믿음 정도로 표현하며, Bel(A) = ∑_{S⊆A} m(S)로 정의한다.
• 새로운 일관성 조건 (B2*)과 기존의 신뢰도 함수 공리들 사이의 등가성을 확립하며, 특히 Bel(A ∪ B) + Bel(A ∩ B) ≥ Bel(A) + Bel(B) 부등식을 포함한다.
• 이론을 두 가지 핵심 예시에 적용한다: 범죄 인식에서의 무지를 모델링하는 섬 문제와 예측 불가능한 동전 뒷면 뒤집기 도박 시나리오.
• 신뢰도 함수에 대한 대수의 법칙을 유도하며, 부분 지식 하에서 합리적인 베팅 행동이 정확히 신뢰도 함수의 일관성 조건과 일치함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무지와 비가환 불확실성을 모델링하는 데 있어 고전적 확률 이론의 문제점을 피할 수 있는 신뢰도 함수의 미적분을 개발할 수 있는가?
• RQ2 정량적 불확실성 프레임워크 내에서 부족한 믿음과 부정의 믿음을 수학적으로 엄밀하게 구분할 수 있는가?
• RQ3 Dempster의 규칙에 의존하지 않고 Dutch Book 정리의 일반화를 이룰 수 있는, 일관된 베팅 해석을 신뢰도 함수에 적용할 수 있는가?
• RQ4 예측 불가능한 도박 메커니즘과 같이 확률 분포가 존재하지 않는 상황에서는 새로운 미적분이 어떻게 처리하는가?
• RQ5 예를 들어 섬 문제에서 정보가 없는 사전 확률을 모델링할 때, 새로운 프레임워크는 고전적 확률 이론과 다른 결과를 도출하는가?

주요 결과

• 새로운 미적분은 콜모고로프의 가환성 공리를 부분 지식 하에서 보장되는 수익을 기반으로 한 조건 (B2*)로 대체함으로써, 비가환 신뢰도 함수를 가능하게 한다.
• 섬 문제에서는 균일한 사전 확률가 무정보 사전 확률과 동일하지 않음을 보여주며, 새로운 프레임워크는 무지를 정확히 모델링한다: Bel(Ω) = 1 이고, 모든 ω에 대해 Bel({ω}) = 0.
• 예측 불가능한 동전을 사용하는 도박 예시에서는, 조작 가능성이 있는 과정에 대해 확률 분포가 존재하지 않더라도 합리적인 베팅 전략을 허용한다.
• 신뢰도 함수에 대한 대수의 법칙이 확립되었으며, 반복적 표본 추출이 믿음 값이 진짜 질량 할당으로 수렴함을 보여준다.
• 베팅 해석은 합리적인 에이전트가 새로운 일관성 규칙을 따를 경우 정확히 신뢰도 함수에 따라 믿음을 할당하는 것으로 나타나, 이 프레임워크가 규범적 모델로서 타당함을 입증한다.
• Dempster의 규칙이 새로운 일관성 조건 (B2*) 위반으로 인해 부분 지식 하에서 비합리적인 믿음 갱신을 초래할 수 있음을 보여, 이 규칙의 기각이 정당화됨을 밝혀냈다.