[논문 리뷰] Quantitative Estimates on Periodic Homogenization of Nonlinear Elliptic Operators

Li Wang, Qiang Xu외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 28.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 24인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비선형이고 비단조화인 연산자를 가진 주기적 동질화를 위한 정량적 오차 추정을 수립한다. Shen(2013)의 영감을 받은 실변수 방법을 사용하여, $C^{1,1}$ 영역에서는 $L^2$에서 $O(ε^{1/2})$ 수렴을, 리프시츠 영역에서는 $σ < 1/2$인 $O(ε^{\sigma})$ 수렴을 도출하며, 계수나 영역의 매끄러움 조건 없이 주기성과 유계성 이외의 추가 조건이 없더라도 $2 \leq p < \infty$에 대해 전역 $W^{1,p}$ 추정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper, we are interested in the periodic homogenization of quasilinear elliptic equations. We obtain error estimates $O(\varepsilon^{1/2})$ for a $C^{1,1}$ domain, and $O(\varepsilon^σ)$ for a Lipschitz domain, in which $σ\in(0,1/2)$ is close to zero. Based upon the convergence rates, an interior Lipschitz estimate, as well as a boundary Hölder estimate can be developed at large scales without any smoothness assumption, and these will implies reverse Hölder estimates established for a $C^1$ domain. By a real method developed by Z.Shen \cite{S3}, we consequently derive a global $W^{1,p}$ estimate for $2\leq p

연구 동기 및 목표

• 주기적 계수를 가진 비선형 비단조화 타원형 미분방정식의 동질화에 대해 정량적 수렴 속도를 수립하는 것.
• 이전의 선형 동질화 결과를 비선형 설정으로 확장하여, 尤히 $2 \leq p < \infty$에 대해 $W^{1,p}$ 추정을 확립하는 것.
• 영역과 계수에 대한 최소한의 정규성 조건 하에서 대규모 내부 리프시츠 및 경계 호일더 추정을 개발하는 것.
• 기존의 역호일더 부등식과 전역 $W^{1,p}$ 추정을 실변수 방법을 사용해 비선형 경우로 일반화하는 것.

제안 방법

• Shen(2013)의 실변수 방법을 비선형 비단조화 타원형 연산자에 적용하여 발산형으로 표현된 경우에 적합하게 조정한다.
• 강제성과 계수 $A(y,z)$의 허더르 연속성에 기반한 두 스케일 전개와 보정자 이론을 통해 오차 추정을 수립한다.
• 해를 조화 함수와 비교하고 캄파나토 타입의 감쇠 추정을 사용하여 대규모 내부 리프시츠 추정을 유도한다.
• 커버링 추론과 최대함수 추정을 적용하여 국소 $L^p$ 기울기 추정을 전역 $W^{1,p}$ 추정으로 전환한다.
• $L^2$ 수렴 속도를 이용해 대규모 스케일에서 기울기의 진동을 제어함으로써 역호일더 부등식을 도출한다.
• 에너지 추정에서 푸앵카레 및 얀의 부등식을 사용하여 해와 그 근사값 간의 차이를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주기적 계수를 가진 비선형 타원형 미분방정식의 해에 대해 $L^2$ 노름에서 최적의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 $C^1$ 정규성 조건 없이도 비선형 타원형 미분방정식에 대해 $W^{1,p}$ 추정을 확립할 수 있는가?
• RQ3 최소한의 정규성 조건 하에서 비선형 연산자에 대해 대규모 내부 리프시츠 및 경계 호일더 추정은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 Shen의 실변수 방법을 비선형 설정으로 확장하여 전역 $W^{1,p}$ 추정을 도출할 수 있는가?
• RQ5 수렴 속도는 영역의 정규성에 따라 어떻게 달라지며, 특히 리프시츠 영역과 $C^{1,1}$ 영역 간의 차이는 무엇인가?

주요 결과

• $C^{1,1}$ 영역에서는 $L^2$ 수렴 속도가 $O(\varepsilon^{1/2})$이며, 이 상수는 $\mu_0$, $\mu_2$, $d$, $r_0$ 및 영역의 특성에 따라 달라진다.
• 리프시츠 영역에서는 $p > 2$에 대해 $\sigma = 1/2 - 1/p$인 $O(\varepsilon^{\sigma})$ 수렴 속도를 보이며, 이는 $\|F\|_{L^p}$와 $\|g\|_{W^{1-1/p,p}(\partial\Omega)}$에 의존한다.
• 매끄러움 조건 없이도 대규모 스케일에서 내부 리프시츠 추정을 확립하였으며, 이는 $\sqrt[3]{\varepsilon} \leq r < 1/4$ 범위에서 유효하며, 기울기 제어는 소스 항의 $L^2$ 평균과 $L^p$ 노름에 따라 달라진다.
• $C^1$ 영역에서는 $2 \leq p < \infty$에 대해 전역 $W^{1,p}$ 추정을 도출하였으며, 기울기 노름은 $\|F\|_{L^p}$, $\|f\|_{L^p}$, $\|g\|_{W^{1-1/p,p}(\partial\Omega)}$에 의해 제어된다.
• 결과는 계수나 영역의 매끄러움이 없더라도 $C^1$ 영역에서 기울기의 역호일더 추정을 암시한다.
• 이 방법은 경계 조건을 네이만으로 확장해도 본질적으로 수정이 필요 없으며, 이는 접근법의 강건성을 시사한다.