[논문 리뷰] Quantitative recurrence properties of expanding maps

José Fernández, María V. Melián외 1명|ArXiv.org|2007. 03. 08.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 40인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 고정점 주변의 수축하는 이웃집에서 궤도가 유한 번 이상 복귀하는 집합의 크기를 분석하여 확장 사상에 대한 정량적 재귀 성질을 수립한다. 맵의 엔트로피, 국소 차원, 이웃집 반경의 감쇠 속도를 사용하여 이러한 재귀 집합의 하우스도르프 차원과 측도에 대한 날카운 경계를 도출한다.

ABSTRACT

Under a map T, a point x recurs at rate given by a sequence {r_n} near a point x_0 if d(T^n(x),x_0)< r_n infinitely often. Let us fix x_0, and consider the set of those x's. In this paper, we study the size of this set for expanding maps and obtain its measure and sharp lower bounds on its dimension involving the entropy of T, the local dimension near x_0 and the upper limit of 1/n log 1/r_n. We apply our results in several concrete examples including subshifts of finite type, Gauss transformation and inner functions.

연구 동기 및 목표

• 고정점 $x_0$ 에 대해 수축하는 이웃집 $B(x_0, r_n)$ 으로의 궤도 재귀를 수량화하는 것.
• 이 수축하는 이웃집에 무한번 복귀하는 궤도를 가진 점들의 집합의 측도와 하우스도르프 차원을 결정하는 것.
• 이러한 재귀 성질을 맵의 위상 엔트로피, $x_0$ 에서의 국소 차원, $r_n$ 의 감쇠 속도와 연관짓는 것.
• 기존의 재귀 결과(예: 포incare 및 보셔르니차탄)를 점 자체가 아니라 고정점 $x_0$ 로의 재귀로 확장하는 것.
• 일반 프레임워크를 구체적 시스템에 적용하는 것: 유한 타입의 부분시퀀스, 가우스 변환, 내부 함수, 확장 엔도모르피즘.

제안 방법

• 고정점 $x_0$ 과 수열 $\{r_n\}$ 에 대해 재귀 집합 $R_{x_0}(\{r_n\}) = \{x \in X : d(T^n(x), x_0) < r_n \text{ i.o.} \}$ 을 정의한다.
• 확장 사상에 대해 절대 연속 불변 확률측도(ACIPM) $\mu$ 가 존재하고 유일함을 이용한다.
• 자기의 수축성 추정을 제이코비안 $\mathbf{J}$ 와 $\mathbf{J}$ 의 허더링 연속성으로부터 유도하여 전이의 측도 비율을 제어한다.
• 감쇠 속도 $\frac{1}{n}\log\frac{1}{r_n}$ 과 재귀 차원 사이의 관계를 공식 $\dim_H R_{x_0}(\{r_n\}) \geq \frac{h}{\chi} + \underline{\lim} \frac{1}{n}\log\frac{1}{r_n}$ 을 통해 연결하며, 여기서 $h$ 는 엔트로피이고 $\chi$ 는 리아푸노프 지수이다.
• 마르코프 분할 구조와 유한 수축성 성질을 이용하여 전이의 기하학적 구조와 측도를 제어한다.
• 특정 시스템에 결과를 적용한다: 가우스 맵, $S(t) = \cot \pi t$ 를 통한 내부 함수, 유한 엔트로피를 가진 컴act 다양체 위의 확장 엔도모르피즘.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정점 $x_0$ 의 수축하는 이웃집 $B(x_0, r_n)$ 에 무한번 복귀하는 궤도를 가진 점들의 집합의 하우스도르프 차원은 무엇인가?
• RQ2 재귀 차원은 맵의 엔트로피, $x_0$ 에서의 국소 차원, $r_n$ 의 감쇠 속도에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 점 자체로의 재귀에 대한 정량적 결과를 임의의 고정점 $x_0$ 로 향하는 재귀로 일반화할 수 있는가?
• RQ4 가우스 변환과 내부 함수의 재귀 성질은 일반적인 확장 사상과 동일한 차원 경계를 만족하는가?
• RQ5 유한 엔트로피를 가진 확장 사상의 맥락에서 재귀 집합이 양의 측도 또는 전체 차원을 가질 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 재귀 집합 $R_{x_0}(\{r_n\})$ 의 하우스도르프 차원은 $\dim_H R_{x_0}(\{r_n\}) \geq \frac{h}{\chi} + \underline{\lim}_{n\to\infty} \frac{1}{n}\log\frac{1}{r_n}$ 를 만족하며, 여기서 $h$ 는 위상 엔트로피이고 $\chi$ 는 리아푸노프 지수이다.
• 가우스 변환의 경우, $r_n = n^{-\alpha}$ ($\alpha > 0$) 일 때, 유한 엔트로피와 마르코프 구조 덕분에 재귀 집합은 전체 하우스도르프 차원 $1$ 을 가진다.
• 유한 엔트로피와 단위 원판 내 고정점이 있는 내부 함수의 경우, 관련 마르코프 변환 $T(t) = S(t) \mod 1$ 은 재귀 경계를 만족하며, 엔트로피는 유한하다: $h(f) = \log\left(\frac{1}{1-p^2}\log\frac{1}{p^2}\right) < \infty$.
• 콤팩트 리만 다각형 위의 확장 엔도모르피즘에 대해 재귀 집합은 하우스도르프 차원이 양이며, 하한은 $\frac{h}{\chi}$ 이다. 여기서 $h$ 는 유한하고 $\chi > 0$ 이다.
• 만일 $\sum_{n=1}^\infty \lambda(B(x_0, r_n)) = \infty$ 이고, 균일 혼합 조건이 만족되면 재귀 집합의 측도는 양이며, 자주 전체 측도를 가진다.
• 결과는 날카로운데, 예를 들어 가우스 맵과 베르누이 시퀀스에서 재귀의 구조가 완전히 마르코프이고 균일하게 확장되기 때문에 하한 차원이 도달된다.