[논문 리뷰] Quantization and Derived Moduli Spaces I : Shifted Symplectic Structures

Tony Pantev, G. Vezzosi|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 14.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 29인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 유도 아르틴 n-스택에 대해 유도 일반화된 심플렉틱 기하학인 n-심플렉틱 구조를 도입하며, 재수정된 군의 분류 스킴과 완전 복합체의 유도 스킴이 자연스러운 2-심플렉틱 구조를 지닌다고 증명한다. 주요 결과로, X가 d차원 칼라비-유아리 다양체이고 F가 n-심플렉틱인 유도 스킴이라면, 유도 사상 스킴 Map(X,F)는 자연스러운 (n−d)-심플렉틱 구조를 갖는다. 이는 칼라비-유아리 다양체나 다양체 위에서의 완전 복합체의 유도 모듈리 스킴에 대해 새로운 심플렉틱 구조를 갖는 유도 모듈리 공간을 제공한다.

ABSTRACT

This is the first of a series of papers about quantization in the context of derived algebraic geometry. In this first part, we introduce the notion of n-symplectic structures, a generalization of the notion of symplectic structures on smooth varieties and schemes, meaningful in the setting of derived Artin n-stacks (see [HAG-II, To2]). We prove that classifying stacks of reductive groups, as well as the derived stack of perfect complexes, carry canonical 2-symplectic structures. Our main existence theorem states that for any derived Artin stack F equipped with an n-symplectic structure, the derived mapping stack Map(X,F) is equipped with a canonical (n − d)-symplectic structure as soon a X satisfies a Calabi-Yau condition in dimension d. These two results imply the existence of many examples of derived moduli stacks equipped with n-symplectic structures, such as the derived moduli of perfect complexes on CalabiYau varieties, or the derived moduli stack of perfect complexes of local systems on a compact and oriented topological manifold. We explain how the known symplectic structures on smooth moduli spaces of simple objects (e.g. simple sheaves on CalabiYau surfaces, or simple representations of π1 of compact Riemann surfaces) can be recovered from our results, and that they extend canonically as 0-symplectic structures outside of the smooth locus of simple objects. We also deduce new existence statements, such as the existence of a natural (−1)-symplectic structure (whose formal counterpart has been previously constructed in [Co, Co-Gw]) on the derived mapping

연구 동기 및 목표

• 유도 아르틴 n-스택의 맥락에서 n-심플렉틱 구조의 개념을 통해 심플렉틱 구조를 일반화하는 것.
• 재수정된 군의 분류 스킴과 완전 복합체의 유도 스킴에 자연스러운 2-심플렉틱 구조가 존재함을 증명하는 것.
• X가 칼라비-유아리 d-다양체일 때, F가 n-심플렉틱인 경우 유도 사상 스킴 Map(X,F)에 대해 (n−d)-심플렉틱 구조의 일반 존재 정리를 증명하는 것.
• 기존의 매끄러운 모듈리 공간에 존재하는 심플렉틱 구조를 특수한 경우로 회복하고, 0-심플렉틱 구조를 통해 특이점 집합으로 자연스럽게 확장하는 것.
• 예를 들어, 컴act이고 올림된 다양체 위에서의 유도 사상 스킴에 자연스러운 (−1)-심플렉틱 구조가 존재함을 유도하는 새로운 존재 결과를 도출하는 것.

제안 방법

• 유도 아르틴 n-스택의 맥락에서 심플렉틱 기하학의 유도 일반화인 n-심플렉틱 구조의 개념을 도입하는 것.
• 특히 [HAG-II, To2]에서 제시된 고차 스킴과 유도 대수기하학의 프레임워크를 사용하여 n-심플렉틱 구조를 정의하고 분석하는 것.
• 차원 d인 다양체 X에 대해 칼라비-유아리 조건을 적용하여, 유도 사상 스킴 Map(X,F)에서 심플렉틱 차수를 n에서 (n−d)로 이동시키는 것.
• 완전 복합체의 유도 스킴과 재수정된 군의 분류 스킴에 존재하는 자연스러운 2-심플렉틱 구조를 기초적인 예로 활용하는 것.
• 유도 사상 스킴 Map(X,F)를 유도 모듈리 공간으로 구성하고, 그 코탄젠트 복합체가 비퇴화된 (n−d)-이동 심플렉틱 형식을 지닌다는 것을 보이는 것.
• 형식적이고 기하학적인 추론을 통해 이전에 알려진 매끄러운 모듈리 공간의 단순한 대상들에 대한 심플렉틱 구조가 특이점 집합으로 자연스럽게 0-심플렉틱 구조로 확장된다는 것을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 심플렉틱 구조는 고전적인 매끄러운 설정을 넘어서 유도 대수기하 스킴에 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 기저 다양체 X가 어떤 조건을 만족해야, F가 n-심플렉틱일 때 유도 사상 스킴 Map(X,F)가 이동된 심플렉틱 구조를 갖는가?
• RQ3 기존의 단순한 층이나 표현의 모듈리 공간에 존재하는 심플렉틱 구조는 유도 방법을 통해 특이점 집합을 넘어서 회복되고 확장될 수 있는가?
• RQ4 칼라비-유아리 조건은 유도 사상 스킴에서 심플렉틱 차수의 이동에 대해 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이 프레임워크에서 칼라비-유아리 다양체나 다양체 위에서 어떤 새로운 유도 모듈리 스킴의 이동된 심플렉틱 구조가 유도되는가?

주요 결과

• 완전 복합체의 유도 스킴과 재수정된 군의 분류 스킴은 각각 자연스러운 2-심플렉틱 구조를 지닌다.
• 모든 유도 아르틴 스킴 F가 n-심플렉틱 구조를 지닐 때, X가 칼라비-유아리 d-다양체이면 유도 사상 스킴 Map(X,F)는 자연스러운 (n−d)-심플렉틱 구조를 갖는다.
• 칼라비-유아리 표면 위에서 단순한 층의 매끄러운 모듈리 공간과 컴팩트 리만 표면의 π₁의 단순 표현에 대한 기존의 심플렉틱 구조는 일반적 구성의 특수한 경우로 회복된다.
• 이러한 기존의 심플렉틱 구조는 특이점 집합을 포함한 전체 모듈리 스킴으로 자연스럽게 0-심플렉틱 구조로 확장된다.
• 컴팩트이고 올림진 다양체 위에서의 유도 사상 스킴에 대해 새로운 (−1)-심플렉틱 구조가 존재하며, 이는 이전의 형식적 구성들을 확장한다.
• 이 프레임워크는 칼라비-유아리 다양체 위에서의 완전 복합체의 유도 모듈리 스킴을 포함하여, 이동된 심플렉틱 구조를 갖는 새로운 유도 모듈리 스킴의 예를 체계적으로 생성할 수 있다.