[논문 리뷰] Quantization of Non-Hamiltonian Systems

Vasily E. Tarasov|ArXiv.org|2001. 08. 28.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 4인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고전적 동역학 연산자(해밀턴ian이 아닌 경우 및 소산적인 경우 포함)를 밀도 행렬에 작용하는 양자 초연산자로 매핑하는 일반화된 와일 양자화 프레임워크—'역학적 양자화'—를 제안한다. 표준 와일 양자화를 함수 공간 위의 연산자로 확장함으로써, 감쇠된 조화 진동자 및 포커-플랑크 유형의 동역학과 같은 시스템을 일관되게 양자화하며, 알려진 양자 마스터 방정식을 특수한 경우로 복원한다.

ABSTRACT

In this paper a generalization of Weyl quantization which maps a dynamical operator in a function space to a dynamical superoperator in an operator space is suggested. Quantization of dynamical operator, which cannot be represented as Poisson bracket with some function, is considered. The usual Weyl quantization of observables can be derived as a specific case of suggested quantization if dynamical operator is an operator of multiplication on a function. This approach allows to define consistent Weyl quantization of non-Hamiltonian and dissipative systems. Examples of the harmonic oscillator with friction and a system which evolves by Fokker-Planck-type equation are considered.

연구 동기 및 목표

• 고전적 비해밀턴ian 시스템의 경우, 동역학이 해밀턴ian 함수와의 파아손 괄호로 표현될 수 없는 일관된 양자화 절차를 개발하는 것.
• 표준 와일 양자화를 함수에서 함수 공간에 작용하는 동역학 연산자로 일반화하는 것.
• 고전적 동역학 연산자(예: 리우빌 연산자)를 하이젠베르크 및 셰레딩거 그림에서 시간 진동을 생성하는 양자 초연산자로 매핑하는 것.
• 기존의 양자 마스터 방정식, 예를 들어 양자 포커-플랑크 방정식을 제안된 형식의 특수한 경우로 복원하는 것.
• 연산자 기반 와일 양자화를 사용하여 보존적 및 소산적 시스템을 통합적으로 양자화할 수 있는 통합 프레임워크를 구축하는 것.

제안 방법

• 이 방법은 함수 공간 위의 선형 미분 또는 임의의 미분형 연산자에서 연산자 공간 위의 초연산자로의 사상으로서 와일 양자화를 일반화한다.
• 와일 기호 형식을 사용하며, 고전적 동역학 연산자 L(q,p,∂q,∂p)는 위상공간 변수로 표현된 후 연산자 순서 규칙을 통해 양자화된다.
• 핵심 공식 (33)은 일반 동역학 연산자 L을 초연산자 L̂로의 양자화를 정의하며, 와일 순서 지수 기반 기저를 사용한다.
• 이 접근법은 동역학 연산자를 위상공간의 함수로 간주하고, 표준 와일 양자화를 그 기호에 적용함으로써 역 푸리에 변환(식 5)을 통해 초연산자를 도출한다.
• 비해밀턴ian 시스템의 경우, 해밀턴ian 함수에 의존하는 것을 피하고 직접 시간 진동의 생성자인 연산자를 양자화한다.
• 동역학 연산자가 함수의 곱셈일 경우 이 형식은 표준 와일 양자화로 축소되어 기존의 양자화와의 일관성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해밀턴ian 함수로 표현될 수 없는 고전적 시스템의 동역학을 어떻게 일관되게 양자화할 수 있는가?
• RQ2 관측량뿐만 아니라 동역학 연산자까지도 양자 초연산자로 매핑하는 와일 양자화의 적절한 일반화는 무엇인가?
• RQ3 비해밀턴ian 리우빌 방정식으로 제어되는 감쇠된 조화 진동자는 이 일반화된 프레임워크를 통해 일관되게 양자화될 수 있는가?
• RQ4 제안된 양자화가 양자 영역에서 알려진 양자 마스터 방정식(예: 포커-플랑크 방정식)을 복원하는가?
• RQ5 2차 비례의 포커-플랑크 유형 리우빌 연산자에 대응하는 양자 동역학 초연산자의 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 일반화된 와일 양자화는 감쇠된 조화 진동자의 고전적 동역학 연산자를, 마찰 항이 포함된 일반화된 하이젠베르크 방정식을 도출하는 양자 초연산자로 성공적으로 매핑한다.
• 유도된 양자 역학은 양자 열린 시스템 모델과 일치하는 비에르미트성 마찰 항 [p, [q, A]]_+ 비례 항을 포함한다.
• 포커-플랑크 유형 시스템의 경우, 양자화된 초연산자는 확산 및 마찰 항을 포함하는 양자 마르코비안 마스터 방정식을 재현하며, 양자 광학 및 열린 시스템 분야에서 알려진 결과와 일치한다.
• 동역학 연산자가 함수의 곱셈일 경우 이 형식은 표준 와일 양자화로 복원되어 일관성을 확인한다.
• 포커-플랑크 시스템의 유도 초연산자는 위치 및 운동량 연산자와의 이중 교환자 항을 포함하며, 양자 확산 및 소산을 반영한다.
• 이 방법은 해밀턴ian 구조가 없는 경우에도, 생성자를 기호로 간주하고 와일 순서를 적용함으로써 어떤 고전적 동역학 반군 생성자도 체계적으로 양자화할 수 있도록 한다.