[논문 리뷰] Quantized topological terms in weakly coupled gauge theories and their connection to symmetry protected topological phases

Ling-Yan Hung, Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 12.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 임의의 시공간 차원과 게이지 군(연속적 또는 이산적)에서 약한 결합 게이지 이론에 대해 정량화된 위상적 항을 체계적으로 구성한다. 이는 게이지 군 $ G $의 분류 공간 $ BG $에 대해 정수 코homology 군 $ H^{d+1}(BG, \mathbb{Z}) $로 분류됨을 보여주며, 이러한 위상적 게이지 이론과 바이오닉 대칭 보호 위상(SPT) 상태 사이의 이중성이 존재함을 규명한다. 이 둘은 동일한 코homology 군으로 분류되며, 위상적 오더와 금속 없는 위상적 상태의 이해를 통합하고 확장한다.

ABSTRACT

We consider a weakly coupled gauge theory where charged particles all have large gaps (ie no Higgs condensation to break the gauge "symmetry") and the field strength fluctuates only weakly. We ask what kind of topological terms can be added to the Lagrangian of such a weakly coupled gauge theory. In this paper, we systematically construct quantized topological terms which are generalization of the Chern-Simons terms and $F\wedge F$ terms, in space-time dimensions $d$ and for any gauge groups (continuous or discrete), using each element of the topological cohomology classes $H^{d+1}(BG,\Z)$ on the classifying space $BG$ of the gauge group $G$. In 3$d$ or for finite gauge groups above 3$d$, the weakly coupled gauge theories are gapped. So our results on topological terms can be viewed as a systematic construction of gapped topologically ordered phases of weakly coupled gauge theories. In other cases, the weakly coupled gauge theories are gapless. So our results can be viewed as an attempt to systematically construct different gapless phases of weakly coupled gauge theories. Amazingly, the bosonic symmetry protected topological (SPT) phases with a finite on-site symmetry group $G$ are also classified by the same $H^{d+1}(BG,\Z)$. (SPT phases are gapped quantum phases with a symmetry and trivial topological order.) In this paper, we show an explicit duality relation between topological gauge theories with the quantized topological terms and the bosonic SPT phases, for any finite group $G$ and in any dimensions; a result first obtained by Levin and Gu. We also study the relation between topological lattice gauge theory and the string-net states with non-trivial topological order and no symmetry.

연구 동기 및 목표

• 모든 게이지 군과 시공간 차원에서 약한 결합 게이지 이론에 대해 정량화된 위상적 항을 체계적으로 분류하는 것.
• 위상적 항이 게이지 이론에서 금속 상태와 금속 없는 상태를 구분하는 데 어떻게 기능하는지 명확히 하는 것.
• 정량화된 항을 가진 위상적 게이지 이론과 유한한 현장 대칭 군을 가진 바이오닉 SPT 위상 사이의 이중성을 수립하는 것.
• 동일한 코homology 프레임워크를 통해 위상적 오더와 SPT 오더의 분류를 통합하는 것.

제안 방법

• 게이지 군 $ G $의 분류 공간 $ BG $에 대해 정수 코homology 군 $ H^{d+1}(BG, \mathbb{Z}) $의 원소를 사용하여 정량화된 위상적 항을 구성한다.
• 세 가지 접근 방식을 적용: 유한한 $ G $에 대한 군 코hom로지, 목표 공간이 $ BG $인 비선형 $ \sigma $-모델, 기하학적 특성 형식을 통한 홀수 차원 시공간의 다루기.
• 유니버설 계수 정리를 사용하여 $ H^d(BG, \mathbb{R}/\mathbb{Z}) $ 와 $ H^{d+1}(BG, \mathbb{Z}) $ 를 연결함으로써, 코homology의 이산 부분이 정량화된 항에 해당함을 규명한다.
• 동일한 코homology 군 $ H^{d+1}(BG, \mathbb{Z}) $ 가 정량화된 항을 가진 위상적 게이지 이론과 바이오닉 SPT 위상 둘 다를 분류함을 보여준다.
• 명시적인 이중 장이론의 구성에 의해 격자 위상적 게이지 이론과 SPT 위상 사이의 이중성 맵을 수립한다.
• 글로벌 대칭이 없는 경우에도 비트리비얼한 위상적 오더를 가지는 스틸링넷 상태와의 관계를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 시공간 차원과 게이지 군에 대해서든 약한 결합 게이지 이론의 라그랑지안에 추가할 수 있는 정량화된 위상적 항의 완전한 집합은 무엇인가?
• RQ2 이러한 위상적 항은 약한 결합 게이지 이론에서 금속 상태와 금속 없는 상태를 어떻게 분류하는가?
• RQ3 정량화된 항을 가진 위상적 게이지 이론과 바이오닉 SPT 위상 사이의 정밀한 수학적·물리적 이중성은 무엇인가?
• RQ4 코homology 군 $ H^{d+1}(BG, \mathbb{Z}) $ 는 어떻게 위상적 오더와 SPT 오더의 분류를 통합하는가?
• RQ5 분류 공간 $ BG $ 는 비선형 $ \sigma $-모델로서 위상적 항을 어떻게 실현하는가?

주요 결과

• 약한 결합 게이지 이론에서 정량화된 위상적 항은 $ H^{d+1}(BG, \mathbb{Z}) $ 의 원소와 일대일 대응되며, 임의의 게이지 군 $ G $ 와 시공간 차원 $ d $ 에 대해 완전한 분류를 제공한다.
• 3차원 이상에서 유한한 게이지 군을 가진 경우, 이로 유도된 이론들은 금속 상태이며 위상적 오더를 기술한다. 반면, 낮은 차원 또는 연속적 군의 경우 이론은 금속 없는 경우가 있을 수 있다.
• 동일한 코homology 군 $ H^{d+1}(BG, \mathbb{Z}) $ 는 정량화된 항을 가진 위상적 게이지 이론과 유한한 현장 대칭 $ G $ 를 가진 바이오닉 SPT 위상을 모두 분류하며, 깊은 이중성을 수립한다.
• 이중성은 장이론적 이중성에 의해 명시적으로 구성되며, 이는 리븐과 군의 이전 결과를 임의의 유한한 군과 차원으로 일반화한다.
• $ H^d(BG, \mathbb{R}/\mathbb{Z}) $ 의 이산 부분, 즉 $ \text{Tor}[H^{d+1}(BG, \mathbb{Z})] $ 와 동형인 부분은 정확히 정량화된 위상적 항에 해당한다.
• 이 방법은 게이지 이론을 통한 위상적 오더 분류와 대칭 보호 위상에 의한 SPT 오더 분류를 통합하며, 이들이 동일한 코homological 구조에 의해 지배됨을 보여준다.