[논문 리뷰] Quantum $1/f$ Noise in Equilibrium: from Planck to Ramanujan

Michel Planat|2003. 07. 16.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates참고 문헌 10인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 질량이 없는 열적 보손의 새로운 양자 통계 모델을 제안하며, 각 모드당 분할 함수는 정수 분할 수 p(n)에 대한 오일러 생성함수로 표현되어 초저주파수 변동 스펙트럼이 hyperbolic가 된다. x = hν/kT일 때 수정된 모드당 에너지는 ∼π²/(6x)로 표현되며, 이는 블랙바디 복사와 디도이 고체에서 1/ν 분수 에너지 변동 및 적외선 보정을 유도한다. 이러한 결과는 모듈라 형식과 라마누잔–라데마처 수론에 뿌리를 두고 있다.

ABSTRACT

We describe a new model of massless thermal bosons which predicts an hyperbolic fluctuation spectrum at low frequencies. It is found that the partition function per mode is the Euler generating function for unrestricted partitions $p(n)$. Thermodynamical quantities carry a strong arithmetical structure: they are given by series with Fourier coefficients equal to summatory functions $σ_k(n)$ of the power of divisors, with $k=-1$ for the free energy, $k=0$ for the number of particles and $k=1$ for the internal energy. Low frequency contributions are calculated using Mellin transform methods. In particular the internal energy per mode diverges as $\frac{ ilde{E}}{kT}=\frac{π^2}{6 x}$ with $x=\frac{h ν}{kT}$ in contrast to the Planck energy $ ilde{E}=kT$. The theory is applied to calculate corrections in black body radiation and in the Debye solid. Fractional energy fluctuations are found to show a $1/ν$ power spectrum in the low frequency range. A satisfactory model of frequency fluctuations in a quartz crystal resonator follows. A sketch of the whole Ramanujan--Rademacher theory of partitions is reminded as well.

연구 동기 및 목표

• 표준 양자 통계역학에서 1/ν 노이즈의 부재를 해결하기 위해 비가역 보손의 분할 함수를 재해석함으로써, 이를 목적으로 한다.
• 모드당 분할 함수가 정수 분할 p(n)에 대한 오일러 생성함수와 일치함을 보여주어 열역학적 양에 산술적 구조를 도입함을 목적으로 한다.
• 멜린 변환 및 모듈라 함수 기법을 사용하여 블랙바디 복사 및 디도이 고체 모델의 저주파수 보정을 유도함을 목적으로 한다.
• 라마누잔–라데마처 공식을 통해 p(n)을 다루는 데 있어 포드 원과 디데킨드 합을 포함한 기법을 사용하여 양자 통계역학과 수론을 연결함을 목적으로 한다.
• 분수 에너지 변동이 1/ν 파wer 스펙트럼을 나타내며, 표준 1/ν² 랜덤 워크 행동과 대비됨을 보임을 목적으로 한다.

제안 방법

• 등간격 에너지 수준 nhν를 갖는 비가역 보손 기체를 모델링하여, 각 모드당 분할 함수를 오일러 곱 ∏_{n≥1} 1/(1−y^n)로 표현하며, y = exp(−x), x = hν/kT이다.
• 분할 함수를 정수 분할의 생성함수로 식별함으로써, 모듈라 형식 및 모듈라 함수 이론과 연결함을 목적으로 한다.
• 특히 내부 에너지 및 자유 에너지의 저주파수 기여를 분석하기 위해 멜린 변환 기법을 적용함을 목적으로 한다.
• 라마누잔–라데마처 공식을 사용하여 p(n)의 정확한 점근 전개를 계산함을 목적으로 하며, 이는 파레이 수열, 포드 원, 디데킨드 합을 포함한다.
• 레이더머의 경로를 z = iz/q²로 매개변수화하여 상반평면 위의 경로를 따라 분할 함수를 통합함으로써 p(n)의 정확한 표현을 도출함을 목적으로 한다.
• 자유 에너지, 내부 에너지, 엔트로피 등의 열역학적 양을 시리즈로 표현하며, 각 계수는 제약 제곱의 합성 함수 σ_k(n)로, k = −1, 0, 1에 해당함을 목적으로 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가역 보손의 재해석된 분할 함수로부터 평형 상태에서의 양자 1/f 노이즈가 도출될 수 있는가?
• RQ2 정수 분할에 대한 오일러 생성함수는 저주파수에서 열역학적 행동을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 모듈라 형식과 디데킨드 합은 적외선 영역에서 분할 함수 기여의 정확한 계산에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 p(n)을 통한 다입자 미세상태를 포함할 경우, 블랙바디 복사 및 디도이 고체 모델에 어떤 보정이 생기는가?
• RQ5 유도된 에너지 변동 스펙트럼은 1/ν 거듭제곱 법칙을 따르며, 표준 1/ν² 랜덤 워크 모델과 어떻게 다를까?

주요 결과

• 내부 에너지의 모드당 값은 Ẽ/(kT) = π²/(6x), x = hν/kT로 표현되며, 저주파수에서 플랑크 결과 Ẽ = kT를 크게 초월하여 발산한다.
• 자유 에너지의 모드당 표현은 계수로 σ_{−1}(n)을 포함한 시리즈로 표현되며, 이는 깊은 산술적 구조를 나타낸다.
• 모드당 입자 수는 n의 약수의 개수인 σ_0(n)에 의해 결정되며, 주파수에 대한 수론적 의존성을 보여준다.
• 기체 내의 분수 에너지 변동은 1/ν 파워 스펙트럼을 나타내며, 표준 통계역학의 1/ν² 스펙트럼과 대비된다.
• 블랙바디 복사에서 광자 밀도는 새로운 적외선 기여로 인해 ζ(3) ≈ 1.20 배로 증가한다.
• 디도이 고체의 진동자 열용량 역시 ζ(3) 배로 증가하여 고체역학계에서 측정 가능한 보정이 있음을 시사한다.