[논문 리뷰] Quantum 2-SAT on Low Dimensional Systems Is QMAsubscript{1}-Complete: Direct Embeddings and Black-Box Simulation

Sevag Gharibian, Dorian Rudolph|arXiv (Cornell University)|2022. 06. 10.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 스트리밍 양자 증명 모델(SQCMASPACE)을 도입하고 NEXP와 동일시하는 것으로, 저차원 시스템에서의 양자 2-SAT 문제가 QMA₁-완전임을 입증한다. 또한, 지수적으로 긴 고전적 증명을 허용할 경우 양자 제약 만족 문제의 해 공간은 항상 국소 유니터리 시뮬레이션을 통해 연결되어 있으며, 임의의 SQCMASPACE 계산을 비결합 증명자들을 통한 QMA(2)-완전인 희박한 분리 해밀토니안 문제에 통합함으로써, 지구 상태 연결성(Ground State Connectivity) 문제에 대한 열린 질문을 해결한다.

ABSTRACT

A celebrated result in classical complexity theory is Savitch’s theorem, which states that non-deterministic polynomial-space computations (NPSPACE) can be simulated by deterministic poly-space computations (PSPACE). In this work, we initiate the study of a quantum analogue of NPSPACE, denoted Streaming-QCMASPACE (SQCMASPACE), in which an exponentially long classical proof is streamed to a poly-space quantum verifier. We first show that a quantum analogue of Savitch’s theorem is unlikely to hold, in that SQCMASPACE = NEXP. For completeness, we also introduce the companion class Streaming-QMASPACE (SQMASPACE) with an exponentially long streamed quantum proof, and show SQMASPACE = QMAEXP (the quantum analogue of NEXP). Our primary focus, however, is on the study of exponentially long streaming classical proofs, where we next show the following two main results. The first result shows that, in strong contrast to the classical setting, the solution space of a quantum constraint satisfaction problem (i.e. a local Hamiltonian) is always connected when exponentially long proofs are permitted. For this, we show how to simulate any Lipschitz continuous path on the unit hypersphere via a sequence of local unitary gates, at the expense of blowing up the circuit size. This shows that quantum error-correcting codes can be unable to detect one codeword erroneously evolving to another if the evolution happens sufficiently slowly, and answers an open question of [Gharibian, Sikora, ICALP 2015] regarding the Ground State Connectivity problem. Our second main result is that any SQCMASPACE computation can be embedded into "unentanglement", i.e. into a quantum constraint satisfaction problem with unentangled provers. Formally, we show how to embed SQCMASPACE into the Sparse Separable Hamiltonian problem of [Chailloux, Sattath, CCC 2012] (QMA(2)-complete for 1/poly promise gap), at the expense of scaling the promise gap with the streamed proof size. As a corollary, we obtain the first systematic construction for obtaining QMA(2)-type upper bounds on arbitrary multi-prover interactive proof systems, where the QMA(2) promise gap scales exponentially with the number of bits of communication in the interactive proof. Our construction uses a new technique for exploiting unentanglement to simulate quadratic Boolean functions, which in some sense allows history states to encode the future.

연구 동기 및 목표

• 지수적으로 긴 고전적 증명을 가진 양자 NPSPACE의 일반화를 체계화하고 연구하며, 스트리밍-QCMASPACE(SQCMASPACE) 클래스를 도입한다.
• 다항식 길이의 증명으로 어려운 양자 복잡도 문제들이 지수적으로 긴 증명을 가질 경우에 자동으로 단순화되는지 조사한다.
• 지수적으로 긴 증명을 허용할 경우, 국소 해밀토니안의 해 공간이 항상 연결되어 있음을 보여줌으로써 지구 상태 연결성(GSCON) 문제를 해결한다.
• 다중 증명자 상호작용 증명을 비결합 양자 제약 만족 문제에 체계적으로 통합함으로써 QMA(2)-유형의 상한을 확립한다.

제안 방법

• 고전적 증명이 비트 단위로 들어오는 스트리밍 모델을 도입하며, 다항식 공간의 양자 검증자가 단일 큐비트 게이트(I 또는 X)를 지정된 큐비트에 적용한다.
• 임의의 리프시츠 연속 경로를 국소 유니터리 게이트의 시퀀스로 시뮬레이션할 수 있는 기법을 개발하여 양자 상태의 연속적 진화를 가능하게 한다.
• SQCMASPACE를 희박한 분리 해밀토니안 문제에 직접 통합하며, 이 문제는 QMA(2)-완전임이 알려져 있고, 약속 갭이 증명 길이의 역수 비례로 스케일링됨을 보인다.
• 미래의 진화를 비결합 상태를 사용하여 시뮬레이션하기 위해 역사 상태 구성법을 사용하며, 이는 비결합 증명자를 통한 이차 부울 함수의 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 경로의 최소 에너지를 제한하기 위해 도달성 레미마(Traversal Lemma)를 적용하여 GSCON 감소에서 타당성을 확보한다.
• PSPACE-완전 문제를 정확한 k-LH 인스턴스로 감소시키며, 약속 갭이 지수적 역수 비례로 스케일링되며, 이를 GSCONexp에 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Savitch 정리의 양자 일반화가 존재하는가, 즉 SQCMASPACE는 PSPACE와 동일한가?
• RQ2 지수적으로 긴 고전적 증명이 허용될 경우, 양자 제약 만족 문제(예: 국소 해밀토니안)의 해 공간이 항상 연결되어 있는가?
• RQ3 임의의 SQCMASPACE 계산은 비결합 증명자 문제, 특히 QMA(2)-완전 문제에 통합될 수 있는가?
• RQ4 지수적으로 긴 증명이 허용될 경우 지구 상태 연결성(GSCON) 문제는 자동으로 단순해지는가?
• RQ5 다중 증명자 상호작용 증명은 통신 비트 수에 따라 지수적으로 스케일링되는 약속 갭을 가진 QMA(2)로 체계적으로 상한을 부여할 수 있는가?

주요 결과

• SQCMASPACE는 NEXP와 동일하며, 양자 Savitch 정리의 일반화가 성립하지 않음을 보여준다.
• 지수적으로 긴 고전적 증명이 허용될 경우, 임의의 국소 해밀토니안의 해 공간은 국소 유니터리 경로를 통한 시뮬레이션을 통해 항상 연결되어 있음을 보였다.
• 임의의 SQCMASPACE 계산은 약속 갭이 1/poly(2^p(n)) 비례로 스케일링되는 QMA(2)-완전 문제인 희박한 분리 해밀토니안 문제에 통합될 수 있으며, 여기서 p(n)은 증명 길이이다.
• 지구 상태 연결성 문제(GSCON)는 해결되었으며, 동일한 증명 모델 하에서 그 해 공간이 항상 연결되어 있음을 보여, Gharibian과 Sikora(ICALP 2015)에서 제기한 열린 질문에 답한다.
• 다중 증명자 상호작용 증명을 QMA(2)로 체계적으로 상한을 둔 구성법을 제공하며, QMA(2)의 약속 갭은 통신 비트 수에 따라 지수적으로 스케일링된다.
• SEPARABLE SPARSE GSCONexp가 NEXP-완전임을 입증함으로써, 지구 상태 연결성 문제의 복잡도 분류를 확장한다.