[논문 리뷰] Quantum algorithm for calculating risk contributions in a credit portfolio

Koichi Miyamoto|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 27.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복수의 기대값을 동시에 추정하는 방법을 활용하여 신용 포트폴리오에서 조건부 VaR(CVaR) 기여도를 효율적으로 계산하는 양자 알고리즘을 제안한다. 양자 확률 추정과 최적화된 오라클을 활용함으로써, $Ϫ{O}(√{N_{\text{gr}}}/\epsilon)$의 질의 복잡도를 달성하여 정확도 $\epsilon$ 에서 양자 제곱근 속도 향상을 보이지만, 하위군 수 $N_{\text{gr}}$ 가 증가함에 따라 고전적 방법에 비해 제한된 스케일링 이점이 있다.

ABSTRACT

Finance is one of the promising field for industrial application of quantum computing. In particular, quantum algorithms for calculation of risk measures such as the value at risk and the conditional value at risk of a credit portfolio have been proposed. In this paper, we focus on another problem in credit risk management, calculation of risk contributions, which quantify the concentration of the risk on subgroups in the portfolio. Based on the recent quantum algorithm for simultaneous estimation of multiple expected values, we propose the method for credit risk contribution calculation. We also evaluate the query complexity of the proposed method and see that it scales as $\widetilde{O}\left(\sqrt{N_{ m gr}}/ε ight)$ on the subgroup number $N_{ m gr}$ and the accuracy $ε$, in contrast with the classical method with $\widetilde{O}\left(\log(N_{ m gr})/ε^2 ight)$ complexity. This means that, for calculation of risk contributions of finely divided subgroups, the advantage of the quantum method is reduced compared with risk measure calculation for the entire portfolio. Nevertheless, the quantum method can be advantageous in high-accuracy calculation, and in fact yield less complexity than the classical method in some practically plausible setting.

연구 동기 및 목표

• 대규모 신용 포트폴리오에서 리스크 기여도를 계산하는 데 발생하는 계산적 과제를 해결하여 하위군 간 리스크 집중도를 정량화하는 것.
• VaR 및 CVaR와 같은 집합적 리스크 측정치를 넘어서 조건부 리스크 기여도로 양자 몬테카를로 방법을 확장하는 것.
• 다중 기대값 동시 추정을 위한 최근의 양자 알고리즘 발전을 활용하여 효율성을 향상시키는 것.
• 고정밀 리스크 분석이 요구되는 실용적 환경에서의 양자 우월성 평가.

제안 방법

• Cornelissen 등이 제안한 다중 기대값 동시 추정을 위한 양자 알고리즘을 활용하여 복수의 채무자 그룹에 대한 CVaR 기여도를 동시에 계산한다.
• 고정점 양자 확률 추정을 사용하여 확률 밀도 인코딩, 제어 회전, 표준 정규 분포 랜덤 변수 상태 준비를 위한 오라클를 구축한다.
• 양자 회로를 활용하여 하위군 간 동시 디폴트 확률 분포와 조건부 손실 값을 인코딩한다.
• 단일 양자 실행에서 모든 리스크 기여도를 추정함으로써 단일 기대값 알고리즘의 순차적 적용을 피하여 질의 복잡도를 감소시킨다.
• 고정점 반복을 적용한 양자 확률 추정을 통해 조건부 기대값의 고정밀도 추정을 실현한다.
• 질의 복잡도의 스케일링을 유도하여 $Ϫ{O}(√{N_{\text{gr}}}/\epsilon)$로 표현하며, 여기서 $N_{\text{gr}}$ 는 하위군 수, $\epsilon$ 은 오차 허용 범위이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 알고리즘이 신용 포트폴리오의 복수 하위군에 대한 CVaR 기여도 계산에 속도 향상을 제공할 수 있는가?
• RQ2 고전적 몬테카를로 방법과 비교하여 질의 복잡도가 하위군 수 $N_{\text{gr}}$ 와 정확도 $\epsilon$ 에 따라 어떻게 스케일링되는가?
• RQ3 정확도 $\epsilon$ 에서의 제곱근 속도 향상이 없음에도 불구하고, 어떤 실용적 환경에서 양자 방법이 고전적 방법을 능가하는가?
• RQ4 양자 프레임워크 내에서 확률 분포 인코딩 및 조건부 손실 평가를 위한 오라클를 효율적으로 구축하는 방법은 무엇인가?
• RQ5 신용 리스크 분석에서 리스크 하위군의 세분화 수준과 양자 우월성 간의 상호 교환 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 양자 알고리즘은 $Ϫ{O}(√{N_{\text{gr}}}/\epsilon)$의 질의 복잡도를 달성하여 오차 허용 범위 $\epsilon$ 에서 양자 제곱근 속도 향상을 보인다.
• 고전적 몬테카를로의 복잡도는 $Ϫ{O}(\log(N_{\text{gr}})/\epsilon^2)$ 로 스케일링되어 고정밀도 설정에서는 양자 방법이 더 효율적임을 보여준다.
• 모든 개별 채무자에 대한 기여도를 계산할 경우($N_{\text{gr}} = N_{\text{obl}}$)에도 일부 현실적인 시나리오에서는 양자 방법이 고전적 방법을 능가할 수 있다.
• 더 세분화된 하위군으로 나뉠수록 양자 우월성이 감소하며, $\sqrt{N_{\text{gr}}}$ 스케일링이 고전적 방법의 $\log(N_{\text{gr}})$ 스케일링보다 유리하지 않기 때문이다.
• 실제 신용 리스크 관리에 적용 가능한 $N_{\text{obl}} \ll 10^8$ 범위 내에서도 본 방법은 실용 가능성이 있다.
• 이론적 분석을 통해 추정된 리스크 기여도의 분산이 유한하게 유지됨을 확인하여 양자 추정 하에서의 안정성을 보장한다.