[논문 리뷰] Quantum algorithm for finding periodicities in the spectrum of a black-box Hamiltonian or unitary transformation

Dominik Janzing, Thomas Beth|ArXiv.org|2001. 08. 10.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 알려지지 않은 해밀토니안의 에너지 스펙트럼에서 주기성을 추정하기 위한 양자 알고리즘을 제시한다. 이는 단지 $U = \exp(-iHt)$의 블랙박스 접근만을 통해 $U \otimes U^\dagger$의 고유값을 측정함으로써 이루어지며, 제어된-$U$ 게이트가 필요로 하지 않는다. 보조 레지스터에서 상태 교환과 조건부 연산을 활용함으로써, 제어된-$U$ 게이트를 회피할 수 있으며, 이로 인해 $U \otimes U^\dagger$에 대한 위상 추정이 가능해지고, 밀도 상태의 자기상관 함수를 추출할 수 있다. 이 자기상관 함수는 스펙트럼의 주기성을 드러낸다.

ABSTRACT

Estimating the eigenvalues of a unitary transformation U by standard phase estimation requires the implementation of controlled-U-gates which are not available if U is only given as a black box. We show that a simple trick allows to measure eigenvalues of U\otimes U^\dagger even in this case. Running the algorithm several times allows therefore to estimate the autocorrelation function of the density of eigenstates of U. This can be applied to find periodicities in the energy spectrum of a quantum system with unknown Hamiltonian if it can be coupled to a quantum computer.

연구 동기 및 목표

• 표준 양자 위상 추정이 제어된-$U$ 연산을 필요로 하므로, $U$가 블랙박스일 경우 이를 사용할 수 없다는 한계를 해결하기 위해.
• 고체역학 물리학의 다체계와 같은 양자 시스템에서 알려지지 않은 해밀토니안의 스펙트럼 분석을 가능하게 하기 위해.
• $U$의 구조를 명시적으로 알 필요 없이 $U \otimes U^\dagger$의 고유값 추정을 통해 고유 상태 밀도의 자기상관 함수를 추출하기 위해.
• 유니터리 진동과 보조 레지스터 기반 제어만을 사용하여 에너지 스펙트럼의 주기성(예: 정규 스펙트럼 갭)을 탐지할 수 있는 실용적인 방법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 목표 레지스터 $\mathcal{H}$, $k$ 큐비트로 구성된 보조 레지스터 $\mathcal{R}_a$, 그리고 $\mathcal{H}$와 동일한 차원을 가진 두 개의 보조 레지스터 $\mathcal{R}_1$과 $\mathcal{R}_2$를 사용한다.
• 상태 교환과 조건부 연산을 통해 $U$를 $\mathcal{R}_1$에서 효과적인 제어된-$U^{2^j}$ 연산으로 변환하는 공액 프로토콜을 구현한다.
• 제어 큐비트 $j$가 $\mathcal{R}_a$에 있을 때, $\mathcal{R}_1$과 $\mathcal{R}_2$ 사이의 스왑 연산을 조건부로 적용하며, 큐비트 수준의 구현을 위해 프레드킨 게이트를 사용한다.
• $V_j'' = |1_j\rangle\langle 1_j| \otimes U^{2^j} \otimes U^{-2^j} + |0_j\rangle\langle 0_j| \otimes 1 \otimes 1$로 얻어진 변환을 사용하여 $U \otimes U^\dagger$에 대한 위상 추정을 수행한다.
• 보조 레지스터를 초위상 상태로 초기화하고, 결과 상태로부터 고유값 정보를 추출하기 위해 역양자 푸리에 변환을 적용한다.
• 다양한 반복을 통해 $U$의 고유 상태 밀도의 자기상관 함수를 추정하며, 이는 스펙트럼의 주기적 구조를 반영한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 알려지지 않은 해밀토니안의 에너지 스펙트럼에서 주기성을 제어된-$U$ 연산에 접근할 수 없이 탐지할 수 있는가?
• RQ2 단지 $U = \exp(-iHt)$에 대한 블랙박스 접근만을 사용하여 밀도 상태의 자기상관 함수를 추정할 수 있는가?
• RQ3 제어된-$U$ 게이트가 이용 불가능할 경우, 위상 추정을 $U$가 아닌 $U \otimes U^\dagger$에 어떻게 적용할 수 있는가?
• RQ4 고유값 $U \otimes U^\dagger$에서 어떤 물리적 정보—예를 들어 스펙트럼 갭 또는 일정한 에너지 준위 간격—을 추출할 수 있는가?
• RQ5 이 방법은 전체 스펙트럼 분석이 비현실적인 다체계 양자 시스템에 적용 가능한가?

주요 결과

• 표준 위상 추정의 핵심 한계를 극복하기 위해, 제어된-$U$ 연산이 필요 없이 $U \otimes U^\dagger$에 대한 위상 추정을 가능하게 한다.
• 보조 레지스터 간의 상태 교환과 조건부 스왑을 통해 공액을 통해 $\mathcal{R}_1$에서 효과적인 제어된-$U^{2^j}$ 연산을 실현한다.
• $U \otimes U^\dagger$의 고유값은 $U$의 고유값 간 위상 차이를 나타내며, 이는 밀도 상태의 자기상관 함수 재구성에 기여한다.
• 스펙트럼의 주기성을, 예를 들어 정규 스펙트럼 갭과 같은 특징을, 전체 스펙트럼이 알려지지 않거나 지수적으로 큰 경우에도 탐지할 수 있다.
• 단지 주기적 특징(예: 일정한 갭 간격)에 관심이 있다면, 필요한 보조 레지스터 크기가 시스템 크기와 비례하지 않아도 되므로, 다체계에서 효율적인 탐지가 가능하다.
• 이 방법은 스펙트럼 주기성이 열역학적 및 동역학적 거동에 영향을 주는 고체역학 물질과 같은 물리계에 적용 가능하다.