[논문 리뷰] Quantum Algorithm to Solve a Maze: Converting the Maze Problem into a Search Problem

Niraj Kumar, Debabrata Goswami|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 15.

Advanced Algebra and Logic참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 고르버의 알고리즘을 사용하여 문제를 양자 검색 작업으로 재구성함으로써 2D 완벽한 미로를 해결하기 위한 양자 알고리즘을 제안한다. 모든 가능한 경로를 양자 상태로 인코딩하고, 목표 지점에 가까운 정도를 평가하기 위한 피트니스 연산자를 사용하며, 동적 임계값 오라클을 사용해 반복적으로 고르버의 검색을 적용함으로써 최적의 경로로 수렴한다. 이는 고전적 검색 방법에 비해 제곱근 속도 향상을 달성한다.

ABSTRACT

We propose a different methodology towards approaching a Maze problem. We convert the problem into a Quantum Search Problem (QSP), and its solutions are sought for using the iterative Grover's Search Algorithm. Though the category of mazes we are looking at are of the NP complete class, we have redirected such a NP complete problem into a QSP. Our solution deals with two dimensional perfect mazes with no closed loops. We encode all possible individual paths from the starting point of the maze into a quantum register. A quantum fitness operator applied on the register encodes each individual with its fitness value. We propose an oracle design which marks all the individuals above a certain fitness value and use the Grover search algorithm to find one of the marked states. Iterating over this method, we approach towards the optimum solution.

연구 동기 및 목표

• 양자 계산 원리를 활용하여 NP-완전한 미로 해결 문제를 다루기 위해.
• 미로 탐색 문제를 양자 검색 문제(QSP)로 재구성하여 양자적 이점을 활용하기 위해.
• 목표 지점에 더 가까운 경로를 마킹할 수 있는 피트니스 기반 오라클을 설계하기 위해.
• 동적 임계값을 사용한 반복적 고르버 검색을 통해 최적의 경로에 효율적으로 수렴하기 위해.
• 양자 알고리즘이 고전적 완전 검색에 비해 제곱근 속도 향상을 제공할 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 폐쇄 고리가 없는 것을 보장하기 위해 재귀적 백트래커 알고리즘을 사용해 미로를 생성한다.
• 헤르마드 게이트를 사용하여 출발지에서 도착지까지의 모든 가능한 경로를 양자 레지스터의 초위상으로 인코딩한다.
• 경로가 목표 지점에 얼마나 가까운지를 수량화하는 피트니스 함수를 정의하고, 이를 엔트레인된 피트니스 레지스터에 저장한다.
• 동적으로 업데이트되는 임계값을 기준으로, 피트니스 값이 그 이상인 경로를 마킹하는 양자 오라클을 설계한다.
• 마킹된(고품질) 상태의 진폭을 증폭하기 위해 고르버의 확산 연산자를 반복적으로 적용한다.
• 진보적으로 최적의 경로로 수렴하기 위해 업데이트된 임계값을 사용해 과정을 반복한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 문제를 양자 검색 문제로 변환함으로써 2D 완벽한 미로를 효과적으로 해결할 수 있는 양자 알고리즘이 존재하는가?
• RQ2 양자 인코딩 프레임워크 내에서 경로 품질을 평가하기 위해 피트니스 함수를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ3 오라클이 고품질 경로를 마킹하고 반복적 개선을 가능하게 하는 데서 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ4 동적 임계값을 사용한 반복적 고르버 검색이 최적의 경로로의 수렴을 얼마나 향상시키는가?
• RQ5 이 접근법의 계산 복잡도는 고전적 완전 검색에 비해 어떤가?

주요 결과

• 알고리즘은 n 큐비트 레지스터를 사용해 모든 가능한 경로를 양자 초위상으로 인코딩하여 크기가 4^n인 검색 공간을 생성한다.
• 피트니스 연산자는 경로 품질을 평가하고 경로 상태와 엔트레인함으로써 측정 기반의 고품질 경로 선택을 가능하게 한다.
• 오라클은 임계값 이상의 피트니스 값을 가진 경로를 마킹하고, 고르버 알고리즘이 이 마킹된 상태의 진폭을 O(√k) 단계 내에서 증폭한다. 여기서 k는 마킹된 경로의 수이다.
• 업데이트된 임계값을 사용해 반복적으로 고르버 검색을 적용함으로써 유한한 단계 내에 최적의 경로로 수렴할 수 있으나, 고르버의 제곱근 속도 향상 특성으로 인해 다항 시간 내에 보장되지 않는다.
• 이 방법은 고전적 완전 검색에 비해 제곱근 속도 향상을 달성하지만, 지수적 속도 향상은 제공하지 않으며, 이는 고르버 알고리즘이 NP-완전 문제에 대해 현재의 한계를 보여준다.
• 미래의 지수적 속도 향상이 가능한 양자 검색 알고리즘은 NP-완전 문제, 예를 들어 미로 해결 문제를 다항 시간 내에 해결할 수 있을 것이다.