[논문 리뷰] Quantum algorithms: A survey of applications and end-to-end complexities

Alexander M. Dalzell, Sam McArdle외 11명|arXiv (Cornell University)|2023. 10. 04.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 47

한 줄 요약

이 논문은 qubitization, block-encodings, phase estimation 등의 양자 알고리즘 기법을 조사하고 Grover-와 유사한 연산자가 A의 함수를 인코딩하며 엔드 투 엔드 알고리즘 복잡도에 대한 Chebyshev 다항식 표현을 가능하게 하는 방법을 논의한다.

ABSTRACT

The anticipated applications of quantum computers span across science and industry, ranging from quantum chemistry and many-body physics to optimization, finance, and machine learning. Proposed quantum solutions in these areas typically combine multiple quantum algorithmic primitives into an overall quantum algorithm, which must then incorporate the methods of quantum error correction and fault tolerance to be implemented correctly on quantum hardware. As such, it can be difficult to assess how much a particular application benefits from quantum computing, as the various approaches are often sensitive to intricate technical details about the underlying primitives and their complexities. Here we present a survey of several potential application areas of quantum algorithms and their underlying algorithmic primitives, carefully considering technical caveats and subtleties. We outline the challenges and opportunities in each area in an "end-to-end" fashion by clearly defining the problem being solved alongside the input-output model, instantiating all "oracles," and spelling out all hidden costs. We also compare quantum solutions against state-of-the-art classical methods and complexity-theoretic limitations to evaluate possible quantum speedups. The survey is written in a modular, wiki-like fashion to facilitate navigation of the content. Each primitive and application area is discussed in a standalone section, with its own bibliography of references and embedded hyperlinks that direct to other relevant sections. This structure mirrors that of complex quantum algorithms that involve several layers of abstraction, and it enables rapid evaluation of how end-to-end complexities are impacted when subroutines are altered.

연구 동기 및 목표

• 실용적 응용과 그들의 엔드-투-엔드 복잡도를 탐구함으로써 양자 알고리즘 연구를 고무한다.
• 주어진 연산자를 Grover-와 유사한 형태로 변환하는 qubitization 및 block-encoding과 같은 핵심 연산자 구성들을 설명한다.
• 양자 위상 추정이 고유값에 접근하는 방식과 가역적인 동역학의 다항식 근사화를 가능하게 하는 방법을 설명한다.
• 구조화된 유니타리의 반복적 적용과 Chebyshev 다항식 간의 연결을 복잡도 분석에 강조한다.

제안 방법

• Z|0⟩ 반사를 사용하여 단위 연산 UA로부터 Grover-와 유사한 연산자 W를 구성하고 2x2 블록 형태를 얻는 과정을 기술한다.
• 불변 부분공간에 제한된 W가 회전으로 이어지며 각도 θλ = arccos(λ)이고 고유값은 e ± i θλ임을 보인다.
• W가 하위공간들에 걸쳐 Wd = ⨁λ(Td(λ)1 − λ^2Ud−1(λ) − 1 − λ^2Ud−1(λ)Td(λ))의 블록 대각 결합으로 작동함을 보이고, 이와 함께 첫째 종류와 둘째 종류의 Chebyshev 다항식(Td, Ud)에 연결된다.
• 반복된 적용을 Chebyshev 다항식 표현과 연관시키며, 양자 알고리즘의 엔드-투-엔드 복잡도 분석을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 qubitization 및 block-encoding과 같은 연산자 인코딩을 사용하여 엔드-투-엔드 양자 알고리즘 복잡도를 어떻게 구현할 수 있는가?
• RQ2 실용적 알고리즘 설계에서 Grover-유사 반사와 양자 위상 추정을 통한 고유값 접근의 역할은 무엇인가?
• RQ3 Chebyshev 다항식 표현(Td, Ud)은 불변 부분공간에서 반복되는 유니타리의 작용을 어떻게 특징지는가?
• RQ4 고유값 구조 e^{±iθλ}의 양자 절차 수행 성능 및 오차 분석에 대한 함의는 무엇인가?

주요 결과

• 기준 UA와 반사로부터 파생된 Grover-와 유사한 연산자 W가 불변 부분공간에서 θλ = arccos(λ)인 회전을 생성한다.
• W의 고유값은 e^{±i arccos(λ)}로, 고유벡터는 |0^m⟩|λ⟩와 그 직교 대응자인 것으로 구성된다.
• 부분공간 내에서 W의 반복적 적용은 1st/2nd kind Chebyshev 다항식으로 매핑되어 다항식 기반의 복잡도 추론을 가능하게 한다.
• 블록 인코딩 프레임워크는 A를 위상 추정과 고유값 기반 기법을 지원하는 유니타리 형태로 표현하도록 한다.
• 이 구성들은 연산자 표현을 고전 다항식 근사와 연결함으로써 엔드-투-엔드 알고리즘 전략의 기초를 이룬다.