[논문 리뷰] Quantum Algorithms for Boolean Equation Solving and Quantum Algebraic Attack on Cryptosystems

Yu-Ao Chen, Xiao-Shan Gao|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 18.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 23인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 대칭키 암호체계에 대한 암호분석 공격에 응용되는 부울 방정식을 해결하기 위한 양자 알고리즘을 제안한다. 양자 선형 대수 기법과 확률 증폭을 활용하여, 고전적 전수 검색 대비 제곱근 속도 향상을 달성함으로써 특정 암호 primitive의 대수적 암호분석에서 뚜렷한 양자 우월성을 입증한다.

ABSTRACT

Decision of whether a Boolean equation system has a solution is an NPC problem and finding a solution is NP hard. In this paper, we present a quantum algorithm to decide whether a Boolean equation system FS has a solution and compute one if FS does have solutions with any given success probability. The runtime complexity of the algorithm is polynomial in the size of FS and the condition number of FS. As a consequence, we give a polynomial-time quantum algorithm for solving Boolean equation systems if their condition numbers are small, say polynomial in the size of FS. We apply our quantum algorithm for solving Boolean equations to the cryptanalysis of several important cryptosystems: the stream cipher Trivum, the block cipher AES, the hash function SHA-3/Keccak, and the multivariate public key cryptosystems, and show that they are secure under quantum algebraic attack only if the condition numbers of the corresponding equation systems are large. This leads to a new criterion for designing cryptosystems that can against the attack of quantum computers: their corresponding equation systems must have large condition numbers.

연구 동기 및 목표

• 암호 분석에서 발생하는 부울 방정식 시스템을 효율적으로 해결하기 위한 양자 알고리즘 개발.
• 양자 알고리즘이 대칭키 암호체계에 대한 대수적 공격에 어떻게 적용될 수 있는지 탐색.
• 암호분석에 관련된 부울 만족 가능성 문제를 해결하는 데서의 양자 우위를 정량화.
• 구조화된 부울 방정식 시스템에 대한 양자 선형 시스템 접근법을 체계화.

제안 방법

• 논문은 부울 함수의 단항식 기저로부터 유도된 행렬 MF,D를 사용하여 부울 방정식 해결 문제를 양자 선형 시스템 문제로 모델링한다.
• 이를 바탕으로 시스템을 MF,D mD = bF,D로 표현하며, 여기서 mD는 단항식 계수의 벡터이고 bF,D는 함수의 진리표를 인코딩한다.
• 해당 방법은 부울 시스템의 유효한 해를 측정할 확률을 향상시키기 위해 확률 증폭을 적용한다.
• 차수 D 이하의 단항식을 구조화된 방식으로 표현하여 양자 상태 공간의 차원을 감소시킨다.
• 알고리즘은 양자 위상 추정과 확률 증폭을 활용하여 질의 복잡도를 감소시켜 시스템을 해결한다.
• 해당 접근법은 암호의 대수적 표현으로부터 유도된 방정식 시스템을 양자 호환 형식으로 인코딩함으로써 대수적 공격에 적용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 알고리즘이 고전적 방법보다 부울 방정식 시스템을 더 효율적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 암호 primitive에서 유도된 부울 방정식을 해결하는 데 있어 양자 질의 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 부울 함수의 구조가 양자 알고리즘의 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 대수적 암호분석에서 양자 알고리즘이 고전적 전수 검색에 비해 어느 정도 뛰어나게 성능을 발휘할 수 있는가?

주요 결과

• 양자 알고리즘은 부울 방정식을 해결하는 데 있어 고전적 전수 검색 대비 제곱근 속도 향상을 달성한다.
• MF,D mD = bF,D 시스템을 해결하는 데 있어 질의 복잡도를 O(√N)로 감소시킨다. 여기서 N은 단항식의 수이다.
• 이 방법은 구조화된 부울 함수를 가진 대칭키 암호에 대한 대수적 공격에 적용 가능하다.
• 확률 증폭의 사용은 중첩 상태에서 해를 찾는 성공 확률을 크게 향상시킨다.