[논문 리뷰] Quantum Algorithms for Ground-State Preparation and Green's Function Calculation

Trevor Keen, Eugene Dumitrescu외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 12. 10.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 선형 조합의 유니터리(LCU)와 허버드-스트라토니비치 변환을 사용하여 지구 상태 준비 및 many-body 그린 함수 계산을 위한 효율적인 양자 알고리즘을 제안한다. 지구 상태 준비의 경우 near-optimal scaling $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\gamma\Delta}\log\frac{1}{\gamma\eta}\right)$을 달성하고, 그린 함수의 경우 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\Gamma^2}\log\frac{1}{\Gamma\epsilon}\right)$의 스케일링을 확보하며, 페르미-허버드 모형과 $q$-deformed XXZ 사슬에서 수치적 검증을 수행하였다.

ABSTRACT

We propose quantum algorithms for projective ground-state preparation and calculations of the many-body Green's functions directly in frequency domain. The algorithms are based on the linear combination of unitary (LCU) operations and essentially only use quantum resources. To prepare the ground state, we construct the operator ${\exp}(-τ\hat{H}^2)$ using Hubbard-Stratonovich transformation by LCU and apply it on an easy-to-prepare initial state. Our projective state preparation procedure saturates the near-optimal scaling, $\mathcal{O}(\frac{1}{γΔ} \log \frac{1}{γη})$, of other currently known algorithms, in terms of the spectral-gap lower bound $Δ$, the additive error $η$ in the state vector, and the overlap lower bound $γ$ between the initial state and the exact ground state. It is straightforward to combine our algorithm with spectral-gap amplification technique to achieve quadratically improved scaling $\mathcal{O}(1/\sqrtΔ)$ for ground-state preparation of frustration-free Hamiltonians, which we demonstrate with numerical results of the $q$-deformed XXZ chain. To compute the Green's functions, including the single-particle and other response functions, we act on the prepared ground state with the retarded resolvent operator $R(ω+ iΓ; \hat{H})$ in the LCU form derived from the Fourier-Laplace integral transform (FIT). Our resolvent algorithm has $\mathcal{O}(\frac{1}{Γ^2} \log\frac{1}{Γε})$ complexity scaling for the frequency resolution $Γ$ of the response functions and the targeted error $ε$, while classical algorithms for FIT usually have polynomial scaling over the error $ε$. To illustrate the complexity scaling of our algorithms, we provide numerical results for their application to the paradigmatic Fermi-Hubbard model on a one-dimensional lattice with different numbers of sites.

연구 동기 및 목표

• 다양체 해밀토니안의 지구 상태를 near-optimal 자원 스케일링으로 효율적으로 준비하는 양자 알고리즘을 개발한다.
• 양자 해밀토니안 연산자와의 직접적 연결을 통해 주파수 도메인에서 many-body 그린 함수를 계산할 수 있도록 한다.
• 작은 스펙트럼 간격을 가진 시스템에서 지구 상태 준비의 높은 자원 소모 문제를 프로젝티브 방법과 스펙트럼 간격 증폭을 통해 해결한다.
• 푸리에-라플라스 적분 변환을 활용하여 주파수 해상도 응답 함수에 대해 고전적 방법에 비해 지수적 스피드업을 달성한다.
• 페르미-허버드 모형과 $q$-deformed XXZ 사슬에서의 수치 시뮬레이션을 통해 실용적 타당성을 입증한다.

제안 방법

• 지구 상태 준비 알고리즘은 허버드-스트라토니비치 변환을 통해 $\exp(-\tau\hat{H}^2)$를 구성하고, 이를 선형 조합의 유니터리(LCU)를 사용하여 구현한다.
• 이 방법은 초기 상태에 대해 $\cos^M(H)$ 연산을 반복적으로 적용하여 지구 상태를 투사하며, 수렴은 스펙트럼 간격 $\Delta$, 오버랩 $\gamma$, 오차 $\eta$에 의해 결정된다.
• 그린 함수 계산을 위해 후행(resolvent) 연산자 $R(\omega + i\Gamma; \hat{H})$는 푸리에-라플라스 적분 변환(FIT)을 사용하여 LCU 형태로 표현된다.
• 이 알고리즘은 주파수 해상도 $\Gamma$와 오차 $\epsilon$에 대해 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\Gamma^2}\log\frac{1}{\Gamma\epsilon}\right)$의 복잡도 스케일링을 달성하며, 고전적 FIT 방법보다 뛰어나다.
• 스펙트럼 간격 증폭을 프로젝티브 방법과 조합하여, 무장력 해밀토니안의 경우 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\sqrt{\Delta}}\right)$의 스케일링을 달성한다.
• 1차원 페르미-허버드 및 $q$-deformed XXZ 사슬에서의 수치적 검증을 통해 스케일링 행동과 오차 한계를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 LCU를 통한 $\exp(-\tau\hat{H}^2)$를 이용한 프로젝티브 지구 상태 준비 방법이 스펙트럼 간격 $\Delta$, 오버랩 $\gamma$, 오차 $\eta$ 측면에서 near-optimal 스케일링을 달성할 수 있는가?
• RQ2 프로젝티브 방법과 스펙트럼 간격 증폭을 조합하면, 무장력 시스템에서 $\mathcal{O}(1/\sqrt{\Delta})$의 이중적으로 향상된 스케일링을 달성할 수 있는가?
• RQ3 LCU 기반의 해밀토니안 연산자 평가를 통해 주파수 도메인 그린 함수를 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\Gamma^2}\log\frac{1}{\Gamma\epsilon}\right)$의 복잡도로 계산할 수 있는가?
• RQ4 실제 모형인 페르미-허버드 및 $q$-deformed XXZ 사슬에 대해 알고리즘의 성능은 어떻게 수치적으로 스케일링되는가?
• RQ5 스펙트럼 간격과 초기 상태 오버랩이 존재하는 조건에서 오차 한계를 유지하기 위해 필요한 지구 상태 에너지 정밀도와 LCU 항목의 수는 얼마인가?

주요 결과

• 지구 상태 준비 알고리즘은 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\gamma\Delta}\log\frac{1}{\gamma\eta}\right)$의 스케일링을 달성하며, 프로젝티브 방법의 near-optimal bound를 달성한다.
• 무장력 해밀토니안의 경우, 스펙트럼 간격 증폭을 통해 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\sqrt{\Delta}}\right)$의 스케일링이 가능하며, $q$-deformed XXZ 사슬에서 수치적으로 확인되었다.
• 그린 함수 알고리즘은 주파수 해상도 $\Gamma$와 오차 $\epsilon$에 대해 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\Gamma^2}\log\frac{1}{\Gamma\epsilon}\right)$의 스케일링을 보이며, 고전적 FIT에 비해 지수적 우수성을 제공한다.
• 필요한 지구 상태 에너지 정밀도는 $\mathcal{O}\left(\frac{\Delta}{\log^{1/2}\frac{1}{\gamma\eta}}\right)$이며, 이는 조건 $\tau' \sim \Delta / \log^{1/2}(1/\gamma\eta)$에서 유도된다.
• LCU 항목의 수 $m_0$는 $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\Delta}\log\frac{\sqrt{2}}{\gamma\eta}\right)$로 스케일링되며, $\sqrt{2}$ 요소는 수치 비교에서 더 엄격한 오차 제어를 보장한다.
• 1차원 페르미-허버드 모형에서의 수치 결과는 다양한 시스템 크기와 파rameter에서 예측된 스케일링 행동을 확인한다.