[논문 리뷰] Quantum algorithms for linear systems of equations inspired by adiabatic quantum computing

Yiğit Subaşı, Rolando D. Somma외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 26.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 선형 시스템 방정식을 해결하기 위한 두 가지 새로운 양자 알고리즘을 제안한다. 이 알고리즘들은 애디아바틱 양자 컴퓨팅의 변종인 진동 랜덤화(evolution randomization)를 사용한다. A, |b⟩ 및 파울리 연산자로부터 해밀토니안을 구성함으로써, 각각 O(κ² log(κ)/ε) 및 O(κ log(κ)/ε)의 시간 복잡도를 달성하며, 표준 가정 하에서 지수적 속도 향상을 제공하고, 위상 추정 또는 큰 보조 큐비트를 피한다.

ABSTRACT

We present two quantum algorithms based on evolution randomization, a simple variant of adiabatic quantum computing, to prepare a quantum state $\vert x angle$ that is proportional to the solution of the system of linear equations $A \vec{x}=\vec{b}$. The time complexities of our algorithms are $O(\kappa^2 \log(\kappa)/\epsilon)$ and $O(\kappa \log(\kappa)/\epsilon)$, where $\kappa$ is the condition number of $A$ and $\epsilon$ is the precision. Both algorithms are constructed using families of Hamiltonians that are linear combinations of products of $A$, the projector onto the initial state $\vert b angle$, and single-qubit Pauli operators. The algorithms are conceptually simple and easy to implement. They are not obtained from equivalences between the gate model and adiabatic quantum computing. They do not use phase estimation or variable-time amplitude amplification, and do not require large ancillary systems. We discuss a gate-based implementation via Hamiltonian simulation and prove that our second algorithm is almost optimal in terms of $\kappa$. Like previous methods, our techniques yield an exponential quantum speedup under some assumptions. Our results emphasize the role of Hamiltonian-based models of quantum computing for the discovery of important algorithms.

연구 동기 및 목표

• 애디아바틱 양자 컴퓨팅에 영감을 받은 새로운 접근 방식을 사용하여 선형 시스템 Ax = b를 효율적으로 해결하는 양자 알고리즘을 개발하는 것.
• 이전 방법에서 자원을 많이 소비하는 위상 추정 또는 가변 시간 앰플리튜드 강화에 의존하지 않도록 하는 것.
• 개념적으로 단순하고, 최소한의 보조 큐비트를 필요로 하며, 게이트 기반 구현에 적합한 알고리즘을 설계하는 것.
• 행렬 A의 조건수 κ에 대해 거의 최적의 스케일링을 달성하는 것.

제안 방법

• 알고리즘들은 애디아바틱 양자 컴퓨팅의 단순화된 변종인 진동 랜덤화를 사용하여, 해밀토니안을 통해 양자 상태를 해 |x⟩ ∝ A⁻¹|b⟩로 진동시킨다.
• 해밀토니안은 A, 프로젝터 |b⟩⟨b| 및 단일 큐비트 파울리 연산자의 선형 조합으로 구성되며, 제어된 진동을 가능하게 한다.
• 시간 진동은 해밀토니안 시뮬레이션을 통해 구현되며, 이는 게이트 기반 양자 회로로의 실현을 가능하게 한다.
• 첫 번째 알고리즘은 O(κ² log(κ)/ε)의 시간 복잡도를 달성하며, 두 번째 알고리즘은 이를 O(κ log(κ)/ε)로 향상시킨다.
• 큰 보조 시스템이 필요로 하지 않아 이전 방법에서 의존하는 자원과는 구별된다.
• 게이트 모델과 애디아바틱 모델 간의 등가성에서 독립적으로 유도된 알고리즘으로, 직접 해밀토니안 설계에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 애디아바틱 양자 컴퓨팅의 단순한 변종이 기존 방법보다 선형 시스템을 더 효율적으로 해결하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ2 위상 추정 또는 앰플리튜드 강화를 사용하지 않고도 선형 시스템에 대해 양자적 속도 향상을 달성할 수 있는가?
• RQ3 이러한 알고리즘에 대해 조건수 κ에 대한 최적의 스케일링은 무엇이며, 이를 접근할 수 있는가?
• RQ4 해밀토니안 기반 모델이 기본 문제를 위한 새로운 단순한 양자 알고리즘을 어떻게 유도할 수 있는가?
• RQ5 선형 시스템 해결에 있어 진동 랜덤화는 표준 애디아바틱 진동에 비해 구현성과 성능 측면에서 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 첫 번째 알고리즘은 O(κ² log(κ)/ε)의 시간 복잡도를 달성하며, 단순성 측면에서 일부 이전 방법보다 향상되었고, 다항식 스케일링을 유지한다.
• 두 번째 알고리즘은 복잡도를 O(κ log(κ)/ε)로 감소시켜 조건수 κ에 대해 거의 최적의 스케일링을 달성한다.
• 제안된 알고리즘은 위상 추정 또는 가변 시간 앰플리튜드 강화가 필요로 하지 않아 알고리즘적 및 큐비트 오버헤드를 감소시킨다.
• 게이트 모델에서 해밀토니안 시뮬레이션을 통해 실현 가능하여 실용적인 양자 회로 설계를 가능하게 한다.
• 알고리즘들은 개념적으로 단순하며 최소한의 보조 큐비트를 필요로 하여 근접한 양자 장치에서의 구현 가능성을 높인다.
• 결과적으로 해밀토니안 기반 모델이 강력한 이론적 보장을 가진 새로운 양자 알고리즘을 발견하는 데 강력한 프레임워크가 될 수 있음을 보여준다.