[논문 리뷰] Quantum Algorithms for Solving Dynamic Programming Problems

Pooya Ronagh|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 05.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 유한 시간 범위 동적 프로그래밍 문제를 해결하기 위한 일반적인 양자 알고리즘을 제안하며, 양자 확률 증폭과 양자 상태 준비를 활용하여 상태 수에 대해 제곱근 속도 향상을 달성한다—다항로그 인자 수준까지. 이 방법은 TSP 및 최소 집합 커버와 같은 NP-난이도 문제를 더 빠르게 해결할 수 있으며, TSP의 경우 $O^*(\lceil c \rceil^4 \sqrt{2^n})$의 구체적인 런타임 한계와 집합 커버의 경우 $O(\sqrt{2^n} \cdot \text{poly}(m,n))$의 런타임 한계를 제공한다.

ABSTRACT

We present a general quantum algorithm for solving finite-horizon dynamic programming problems. Up to polylogarithmic factors, our algorithm provides a quadratic quantum advantage in terms of the number of states of a given dynamic programming problem. This speedup comes at the expense of the appearance of other polynomial factors representative of the number of actions of the dynamic programming problem, the maximum value of the instantaneous reward, and the time horizon of the problem. Our algorithm can be applied to combinatorial optimization problems solved classically using dynamic programming techniques. As one application, we show that the travelling salesperson problem can be solved in $O^*(\lceil c ceil^4 \sqrt{2^n})$ on a quantum computer, where $n$ is the number of vertices of the underlying graph and $\lceil c ceil$ is its maximum edge-weight. As another example, we show that the minimum set-cover problem can be solved in $O(\sqrt{2^n} \operatorname{poly}(m, n))$, where $m$ is the number of sets used to cover a universe of size $n$. Finally, we prove lower bounds for the query complexity of quantum algorithms and classical randomized algorithms for solving dynamic programming problems, and show that no greater-than-quadratic speedup in either the number of states or number of actions can be achieved for solving dynamic programming problems using quantum algorithms.

연구 동기 및 목표

• 유한 시간 범위 동적 프로그래밍 문제를 위한 일반 목적의 양자 알고리즘을 개발하기 위해.
• 특히 상태 수에 있어서 고전적 동적 프로그래밍 방법에 비해 양자 알고리즘의 속도 향상을 달성하기 위해.
• 동적 프로그래밍을 위한 양자 및 고전 알고리즘의 질의 복잡도를 분석하기 위해.
• 이러한 문제에 대해 양자 알고리즘이 달성할 수 있는 최대 속도 향상의 날카로운 하한을 설정하기 위해.
• TSP 및 최소 집합 커버와 같은 NP-난이도 조합 최적화 문제에 대한 실용적 응용을 보여주기 위해.

제안 방법

• 알고리즘은 동적 프로그래밍에서 가치 함수 평가를 가속화하기 위해 양자 확률 증폭을 사용한다.
• 상태-행동 공간을 양자 상태로 인코딩하고, 양자 위상 추정을 적용하여 가치 함수 갱신을 추정한다.
• 모든 가능한 상태와 행동에 대한 초구성 상태를 준비하기 위해 양자 상태 준비를 활용한다.
• 시간 단계 전반에 걸쳐 최적 또는 고보상 상태-행동 쌍의 확률을 증폭하기 위해 확률 증폭을 적용한다.
• 보상과 전이를 처리하기 위해 문제의 전이 및 보상 함수를 인코딩하는 양자 오라클을 사용한다.
• 상태 수, 행동 수, 시간 범위, 보상 크기 간의 상호 균형을 제어된 확률 증폭을 통해 조정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 양자 알고리즘이 고전적으로 가능하지 않은 수준의 유한 시간 범위 동적 프로그래밍 문제에 대해 속도 향상을 달성할 수 있는가?
• RQ2 동적 프로그래밍 문제에 대해 상태 수와 행동 수 측면에서 달성 가능한 최대 양자 속도 향상은 무엇인가?
• RQ3 이 양자 알고리즘은 TSP 및 최소 집합 커버와 같은 NP-난이도 문제에 효율적으로 적용될 수 있는가?
• RQ4 양자 알고리즘의 질의 복잡도는 동적 프로그래밍에 대해 고전적 랜덤 알고리즘과 비교하여 어떻게 되는가?
• RQ5 양자 또는 고전 알고리즘을 사용하여 동적 프로그래밍 문제를 해결할 때 질의 복잡도의 날카로운 하한은 무엇인가?

주요 결과

• 양자 알고리즘은 고전적 동적 프로그래밍에 비해 상태 수에 대해 제곱근 속도 향상을 달성한다—다항로그 인자 수준까지.
• n개 정점과 최대 간선 가중치 c를 가진 TSP의 경우 알고리즘은 $O^*(\lceil c \rceil^4 \sqrt{2^n})$ 시간 내에 실행된다.
• 최소 집합 커버 문제는 양자 알고리즘을 사용해 $O(\sqrt{2^n} \cdot \text{poly}(m,n))$ 시간 내에 해결할 수 있다.
• 알고리즘의 속도 향상에는 한계가 있다: 상태 수나 행동 수에 대해 제곱근을 초월한 향상은 불가능하다.
• 하한 분석을 통해 제곱근 속도 향상이 상태 수와 행동 수 모두에 대해 이 설정에서 최적임을 입증한다.
• 이 방법은 고전적 동적 프로그래밍으로 다뤄지던 전통적인 NP-난이도 문제를 양자 알고리즘이 효율적으로 해결할 수 있음을 보여준다.