[논문 리뷰] Quantum Amplitude Amplification and Estimation

Gilles Brassard, Peter Høyer외 2명|2000. 05. 15.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 545

한 줄 요약

이 논문은 성공 확률이 알려지지 않은 경우에도 데이터베이스에서 표식된 항목을 찾는 데 이차적 속도 향상을 달성하는, 그로버 알고리즘의 일반화인 양자 진폭 확대를 소개한다. 또한 최적의 양자 근사 카운팅을 가능하게 하기 위해 진폭 추정을 발전시켜, 오차 ε에 대해 O(1/√ε) 쿼리로 높은 정확도로 해의 수를 추정할 수 있는 방법을 제공한다.

ABSTRACT

Consider a Boolean function $χ: X o \{0,1\}$ that partitions set $X$ between its good and bad elements, where $x$ is good if $χ(x)=1$ and bad otherwise. Consider also a quantum algorithm $\mathcal A$ such that $A |0 angle= \sum_{x\in X} α_x |x angle$ is a quantum superposition of the elements of $X$, and let $a$ denote the probability that a good element is produced if $A |0 angle$ is measured. If we repeat the process of running $A$, measuring the output, and using $χ$ to check the validity of the result, we shall expect to repeat $1/a$ times on the average before a solution is found. *Amplitude amplification* is a process that allows to find a good $x$ after an expected number of applications of $A$ and its inverse which is proportional to $1/\sqrt{a}$, assuming algorithm $A$ makes no measurements. This is a generalization of Grover's searching algorithm in which $A$ was restricted to producing an equal superposition of all members of $X$ and we had a promise that a single $x$ existed such that $χ(x)=1$. Our algorithm works whether or not the value of $a$ is known ahead of time. In case the value of $a$ is known, we can find a good $x$ after a number of applications of $A$ and its inverse which is proportional to $1/\sqrt{a}$ even in the worst case. We show that this quadratic speedup can also be obtained for a large family of search problems for which good classical heuristics exist. Finally, as our main result, we combine ideas from Grover's and Shor's quantum algorithms to perform amplitude estimation, a process that allows to estimate the value of $a$. We apply amplitude estimation to the problem of *approximate counting*, in which we wish to estimate the number of $x\in X$ such that $χ(x)=1$. We obtain optimal quantum algorithms in a variety of settings.

연구 동기 및 목표

• 균일한 초위상이 아닌 임의의 양자 알고리즘으로 그로버의 양자 검색 알고리즘을 일반화하여, 성공 진폭이 알려지지 않은 경우에도 적용 가능하게 하는 것.
• 성공 확률이 알려지지 않은 경우에도 고전적 검색 대비 이차적 속도 향상을 달성하는 진폭 확대 방법을 개발하는 것.
• 진폭 추정을 사용하여 데이터베이스 내 표식된 항목의 수를 추정함으로써 최적의 양자 알고리즘을 설계하는 것.
• 기존의 고전적 히우리스틱이 알려진 광범위한 검색 문제 클래스를 해결하기 위해 진폭 확대와 진폭 추정을 통합하는 프레임워크를 제공하는 것.
• 오차가 제한된 조건에서 근사 카운팅의 최적 쿼리 복잡도를 달성하여 추정된 수의 높은 신뢰도를 확보하는 것.

제안 방법

• 표식된 상태의 진폭을 반복적으로 증가시키는 유니터리 변환으로서의 진폭 확대를 도입하여, 그로버의 디퓨전과 유사한 반사 기반 과정을 사용한다.
• 그로버 반복을 적용하여 양호한 상태의 진폭을 증폭함으로써, 고전적 방법의 O(1/a) 호출 수를 양자적 방법의 O(1/√a)로 감소시킨다.
• 성공 확률 a를 추정하기 위해 진폭 확대 연산자의 제어된 버전에 위상 추정을 적용하여 진폭 추정을 개발한다.
• 위상 추정과 각도 θ = arcsin(√a) 사이의 관계를 활용하여, 정밀도 ε로 O(1/ε) 쿼리를 사용해 a를 추정한다.
• 진폭 추정과 제어된 진폭 확대 프레임워크를 조합하여 근사 카운팅 알고리즘을 구성하고, 적응형 쿼리 스케줄링을 사용한다.
• 하이브리드 접근 방식을 활용: √(N/(t+1))과 √((N−t)/εN)의 추정치를 조합하여 양호한 요소의 수를 추정하고, 수정된 Count 알고리즘을 사용해 최종 카운트를 산출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균일한 초위상 이외의 임의의 양자 알고리즘으로 성능이 알려지지 않은 성공 진폭을 갖는 경우에도 진폭 확대를 일반화할 수 있는가?
• RQ2 성공 확률이 알려지지 않은 경우 부울 함수의 해의 수를 추정하기 위한 최적의 양자 쿼리 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 진폭 추정을 사용하여 오차가 제한되고 쿼리 오버헤드가 최소화된 최적의 근사 카운팅을 달성할 수 있는가?
• RQ4 표준 반복 샘플링과 비교했을 때, 좋은 해를 찾기 위한 기대 쿼리 수에서 진폭 확대의 성능은 어떻게 되는가?
• RQ5 진폭 추정을 사용한 양자 근사 카운팅에서 정확도와 쿼리 복잡도 사이의 상충 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 진폭 확대가 이차적 속도 향상을 달성하여, 고전적 방법이 요구하는 O(1/a) 대비 기대 호출 수를 O(1/√a)로 감소시킨다.
• 성공 진폭 a가 알려지지 않은 경우에도 알고리즘이 작동하며, 기대값에서 O(1/√a) 스케일링을 유지한다.
• a가 알려진 경우 알고리즘은 최악의 경우 O(1/√a) 호출 내에 좋은 해를 찾을 수 있으며, 이는 최고의 알려진 경계와 일치한다.
• 진폭 추정을 통해 정밀도 ε로 O(1/ε) 쿼리를 사용해 성공 확률 a를 추정할 수 있으며, 이는 높은 신뢰도의 근사 카운팅을 가능하게 한다.
• 근사 카운팅 알고리즘은 기대 쿼리 복잡도가 O(S′)일 때 최소 2/3의 성공 확률을 달성하며, 여기서 S′은 최적 경계의 Θ이다.
• 최종 알고리즘은 |t̃ − t| ≤ εt를 만족하는 추정치 t̃를 출력하며, 이는 근사 카운팅의 최적 오차 스케일링을 달성한다.