[논문 리뷰] Quantum and Classical Low-Degree Learning via a Dimension-Free Remez Inequality

Klein, Ohad, Joseph Slote외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 04.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다각형 토러스 위에서 차원에 종속되지 않는 Remez 유형 부등식을 도입하여, 초격자 [K]^n과 큐디트 시스템에서 저차수 함수의 O(log n) 표본 복잡도와 다항 시간 학습을 가능하게 한다. 순환 군 위의 이산 함수를 다각형 토러스 위의 조화 확장과 연결함으로써, 저차수 함수의 차원에 종속되지 않는 Bohnenblust–Hille 부등식을 수립하여 고차원 양자 및 고전적 환경에서의 효율적 학습을 위한 주요 장벽을 극복한다.

ABSTRACT

Recent efforts in Analysis of Boolean Functions aim to extend core results to new spaces, including to the slice $\binom{[n]}{k}$, the hypergrid $[K]^n$, and noncommutative spaces (matrix algebras). We present here a new way to relate functions on the hypergrid (or products of cyclic groups) to their harmonic extensions over the polytorus. We show the supremum of a function $f$ over products of the cyclic group $\{\exp(2πi k/K)\}_{k=1}^K$ controls the supremum of $f$ over the entire polytorus $(\{z\in\mathbf{C}:|z|=1\}^n)$, with multiplicative constant $C$ depending on $K$ and $ ext{deg}(f)$ only. This Remez-type inequality appears to be the first such estimate that is dimension-free (i.e., $C$ does not depend on $n$). This dimension-free Remez-type inequality removes the main technical barrier to giving $\mathcal{O}(\log n)$ sample complexity, polytime algorithms for learning low-degree polynomials on the hypergrid and low-degree observables on level-$K$ qudit systems. In particular, our dimension-free Remez inequality implies new Bohnenblust--Hille-type estimates which are central to the learning algorithms and appear unobtainable via standard techniques. Thus we extend to new spaces a recent line of work \cite{EI22, CHP, VZ22} that gave similarly efficient methods for learning low-degree polynomials on the hypercube and observables on qubits. An additional product of these efforts is a new class of distributions over which arbitrary quantum observables are well-approximated by their low-degree truncations -- a phenomenon that greatly extends the reach of low-degree learning in quantum science \cite{CHP}.

연구 동기 및 목표

• 초구와 큇비트 시스템에서의 효율적 저차수 학습을 일반 초격자 [K]^n과 임의의 국소 차원 K ≥ 2를 가진 큐디트 시스템으로 확장한다.
• 다각형 토러스 위에서 차원에 종속되지 않는 Remez 유형 부등식을 수립하여 이전 학습 알고리즘의 차원에 종속된 장벽을 극복한다.
• [K]^n 위의 함수 및 H^⊗n_K 위의 관측 가능량에 대해 새로운 차원에 종속되지 않는 Bohnenblust–Hille 유형 부등식을 유도한다.
• 일부 분포 하에서 저차수 절단이 임의의 양자 관측 가능량을 잘 근사함을 보여주어 양자 과학에서의 저차수 학습의 적용 범위를 확장한다.

제안 방법

• 함수 f: [K]^n → ℂ를 다각형 토러스 (S^1)^n로 조화 확장을 정의하여, [K]^n 상에서의 sup |f|가 K와 deg(f)에만 의존하는 상수를 곱하여 (S^1)^n 상에서의 sup |f|를 제어함을 보인다.
• 차원에 종속되지 않는 Remez 유형 부등식을 증명: [K]^n 위의 차수 d 함수 f에 대해 ‖f‖_{L^∞((S^1)^n)} ≤ C(K,d) ‖f‖_{L^∞([K]^n)} 이며, C는 n에 무관하다.
• 이 부등식을 활용해 [K]^n 위의 푸리에 계수 및 큐디트 시스템의 Gell-Mann 기저 계수에 대해 차원에 종속되지 않는 Bohnenblust–Hille 부등식을 도출한다.
• L2-디자인-불변(L2DI) 분포 하에서 양자 관측 가능량의 노이즈 안정성을 분석하여, 저차수 절단이 전 관측 가능량을 차수 증가에 따라 지수적으로 감소하는 오차로 근사함을 보인다.
• 이 부등식을 활용해 제품 상태를 샘플링하고, 관측 가능량 A의 저차수 근사화를 구성하는 학습 알고리즘을 설계하여, 표본 복잡도가 O(log n), 런타임이 다항식 시간인 알고리즘을 제안한다.
• Gell-Mann 및 Heisenberg–Weyl 기저의 구조를 활용해 고유공간을 연결하고, 절단된 관측 가능량의 연산자 노름에 대한 경계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초격자 [K]^n 위의 함수와 그 다각형 토러스로의 조화 확장에 대해 차원에 종속되지 않는 Remez 유형 부등식을 수립할 수 있는가?
• RQ2 유도된 부등식이 초격자 [K]^n 및 큐디트 시스템에서 저차수 함수 학습에 대해 O(log n) 표본 복잡도를 가능하게 하는가?
• RQ3 L2DI 분포 하에서 양자 관측 가능량의 저차수 절단이 전체 관측 가능량을 어느 정도 잘 근사하는가?
• RQ4 큐디트에 대해 유도된 Bohnenblust–Hille 부등식의 상수들이 초구 경우와 마찬가지로 차수 d에 대해 지수함수보다 작은지?
• RQ5 Gell-Mann 및 Heisenberg–Weyl 기저는 고유공간을 어떻게 연결하고, 차원에 종속되지 않는 경계를 가능하게 하는가?

주요 결과

• 차원에 종속되지 않는 Remez 유형 부등식이 증명됨: 임의의 f: [K]^n → ℂ에 대해 차수 d일 때, 다각형 토러스 상의 L^∞ 노름은 C(K,d) × [K]^n 상의 L^∞ 노름을 넘지 않으며, C는 n에 무관하다.
• 이 부등식은 [K]^n 위의 푸리에 계수에 대해 새로운 차원에 종속되지 않는 Bohnenblust–Hille 부등식을 유도하며, 상수는 K와 d에만 의존한다.
• 큐디트 시스템에서는 관측 가능량 A의 Gell-Mann 기저 계수의 L^{2d/(d+1)}-노름에 대해 연산자 노름을 기반으로 한 경계를 도출한다.
• L2DI 분포 하에서 전체 관측 가능량 A와 그 차수 d 절단 A≤d 사이의 L^2 오차는 (K/(K^2−1))^d ‖A‖_2^2 로 유계화된다.
• 저차수 큐디트 관측 가능량 학습을 위한 알고리즘을 구성하여, 표본 복잡도가 O(log n), 런타임이 다항식 시간인 알고리즘을 제안하였으며, 오차 ε을 얻기 위해 s = O(K^{3/2} log(n/δ) e^{c·log^2(1/ε) ‖A≤t‖_op^{2t}}) 개의 표본이 필요하다.
• 이 방법은 저차수 학습을 큐디트 시스템으로 확장하며, 전체 관측 가능량이 지수 시간 과정에 해당하더라도 특정 분포 하에서 저차수 절단이 잘 근사함을 보여준다.