[논문 리뷰] Quantum Annealing: a journey through Digitalization, Control, and hybrid Quantum Variational schemes

Glen Bigan Mbeng, Rosario Fazio외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 21.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 41

한 줄 요약

이 논문은 digitized quantum annealing(dQA)을 QAOA 및 최적 양자 제어와 연결하고, 2-정규 그래프에서 MaxCut에 대한 잔류 에너지의 상한을 증명하며, QAOA 내에서 정규적이고 Adiabatic 유사한 digitized-QA 스케줄을 구성할 수 있음을 보인다.

ABSTRACT

We establish and discuss a number of connections between a digitized version of Quantum Annealing (QA) with the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) introduced by Farhi et al. (arXiv:1411.4028) as an alternative hybrid quantum-classical variational scheme for quantum-state preparation and optimization. We introduce a technique that allows to prove, for instance, a rigorous bound concerning the performance of QAOA for MaxCut on a $2$-regular graph, equivalent to an unfrustrated antiferromagnetic Ising chain. The bound shows that the optimal variational error of a depth-$\mathrm{P}$ quantum circuit has to satisfy $ε^\mathrm{res}_{\mathrm{P}}\ge (2\mathrm{P}+2)^{-1}$. In a separate work (Mbeng et al., arXiv:1911.12259) we have explicitly shown, exploiting a Jordan-Wigner transformation, that among the $2^{\mathrm{P}}$ degenerate variational minima which can be found for this problem, all strictly satisfying the equality $ε^\mathrm{res}_{\mathrm{P}}=(2\mathrm{P}+2)^{-1}$, one can construct a special {\em regular} optimal solution, which is computationally optimal and does not require any prior knowledge about the spectral gap. We explicitly demonstrate here that such a schedule is adiabatic, in a digitized sense, and can therefore be interpreted as an optimized digitized-QA protocol. We also discuss and compare our bound on the residual energy to well-known results on the Kibble-Zurek mechanism behind a continuous-time QA. These findings help elucidating the intimate relation between digitized-QA, QAOA, and optimal Quantum Control.

연구 동기 및 목표

• digitized QA, QAOA, 및 NISQ 시대의 최적 양자 제어 간의 연관성 확립.
• 2-정규 그래프에서 MaxCut에 적용된 QAOA에 대한 잔류 에너지에 대한 엄격한 상한 도출.
• QAOA 내에서 정규적이고 Adiabatic 유사한 digitized-QA 스케줄의 존재성 시연.
• 경계 조건과 감소된 스핀 사슬이 분석적 경계(bound) 도출에 어떻게 기여하는지 명확히 설명.

제안 방법

• MaxCut을 H_z로 인코딩된 반강자 이징(cost Hamiltonian) 문제로 모델링한다.
• 연속 시간 QA 및 gamma_m과 beta_m 매개변수를 갖는 디지털화(Trotter화) 변형을 기술한다.
• QAOA를 P-깊이의 H_z와 H_x의 디지털화된 교대 수행으로 정의하고 잔류 에너지 ε^res_P를 정의한다.
• 평행성(전이 불변성) 및 경계 조건 자유도를 이용해 2P < N일 때 하한 ε^res_P >= 1/(2P+2) 도출한다.
• Jordan-Wigner 변환을 적용해 문제를 독립적인 두 레벨 시스템으로 매핑하고 k-모드에 대한 표현으로 ε^res_P를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Digitized-QA와 QAOA가 조합 최적화 문제를 해결하는 데 있어 어떤 관계를 가지는가?
• RQ2 단순한 규칙 그래프에서 QAOA에 대한 잔류 에너지의 엄밀한 상한을 도출할 수 있으며, 그 한계는 무엇인가?
• RQ3 스펙트럼 간격 정보 없이도 digitized QA 프레임워크 내에서 Adiabatic 유사하고 정규화된 QAOA 스케줄을 식별할 수 있는가?
• RQ4 경계 조건과 감소된 스핀 사슬이 잔류 에너지와 QAOA 스케줄의 최적성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 2-정규 그래프에서 MaxCut의 잔류 에너지에 대한 변분 상한: ε^res_P >= 1/(2P+2)일 때 2P < N, 그리고 ε^res_P = 0일 때 2P >= N.
• 상한은 반주기적 경계 조건을 사용할 때 타이트하며, 감소된 체 논거는 평행성에 의해 상한을 정당화한다.
• Jordan-Wigner 매핑은 문제가 독립적인 두 레벨 시스템으로 분해됨을 보여주며, 각 모드로부터의 잔류 에너지 기여에 대한 명시적 표현을 가능하게 한다.
• 정규적이며 Adiabatic-유사한 QAOA 스케줄이 digitized-QA 내에서 잔류 에너지 상한을 포화하고, 스펙트럼 간격 지식 없이도 구성될 수 있다.
• 최적 QAOA 지형은 주기성과 대칭성을 보이며, 특정 흐름에서 최적 매개변수들이 β = γ' (대칭 매니폴드)인 경우가 있음을 시사하는 증거가 있다.