[논문 리뷰] Quantum annealing for polynomial systems of equations

Chia Cheng Chang, Arjun Singh Gambhir외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 17.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 반복 수렴 문제를 피하기 위해 다항방정식의 연립방정식을 해결하는 데 양자 앤날링 기반의 직접적 방법을 제안한다. 상업용 양자 앤날러에서 두차항 다항방정식과 선형 연립방정식을 성공적으로 해결하였으며, 반복적 앤날링 과정을 통해 10⁻⁸ 허용오차의 높은 정밀도를 달성하였다. 이는 수치적 방정식 해법에 대한 새로운 양자적 접근을 제시한다.

ABSTRACT

Numerous scientific and engineering applications require numerically solving systems of equations. Classically solving a general set of polynomial equations requires iterative solvers, while linear equations may be solved either by direct matrix inversion or iteratively with judicious preconditioning. However, the convergence of iterative algorithms is highly variable and depends, in part, on the condition number. We present a direct method for solving general systems of polynomial equations based on quantum annealing, and we validate this method using a system of second-order polynomial equations solved on a commercially available quantum annealer. We then demonstrate applications for linear regression, and discuss in more detail the scaling behavior for general systems of linear equations with respect to problem size, condition number, and search precision. Finally, we define an iterative annealing process and demonstrate its efficacy in solving a linear system to a tolerance of $10^{-8}$.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 다항방정식 연립방정식을 해결하기 위한 직접적 양자 방법을 개발하여, 기존의 반복적 수렴 문제를 피하고자 한다.
• 특히 두차항 방정식에 대해 상업용 양자 앤날러를 사용한 다항방정식 연립해법의 실현 가능성을 검증하고자 한다.
• 문제 크기, 조건수, 해의 정밀도에 따라 선형 연립방정식에 대한 양자 앤날링의 스케일링 행동을 탐색하고자 한다.
• 선형 연립방정식의 해의 정밀도를 향상시키기 위해 반복적 앤날링 과정을 도입하고 평가하고자 한다.

제안 방법

• 다항방정식 연립방정식을 양자 앤날링에 적합한 이차형 무제약 이진 최적화(QUBO) 문제로 매핑한다.
• 연립방정식을 양자 앤날링을 통해 최소화되는 비용 함수로 제시하며, 지구 상태가 해에 해당한다.
• 선형 연립방정식의 경우 반복 보정 없이 직접 QUBO로 매핑하여 양자 프레임워크 내에서 정확한 해를 도출할 수 있도록 한다.
• 반복적 앤날링 과정을 도입하여, 여러 차례의 앤날링 사이클을 거쳐 해를 정밀하게 개선한다.
• 이 방법은 양자 앤날러가 에너지 표면을 탐색하고 낮은 에너지 상태(즉, 해)로 수렴할 수 있는 능력을 활용한다.
• 해의 정밀도는 앤날링 스케줄과 반복 보정 단계를 조정하여 제어되며, 최소 10⁻⁸ 허용오차까지 정밀도를 확보할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 앤날링을 다항방정식 연립방정식의 직접적 해법으로 사용할 수 있는가? 반복 수렴 문제를 피할 수 있는가?
• RQ2 선형 연립방정식의 경우 문제 크기와 조건수 증가에 따라 양자 앤날링의 성능은 어떻게 변화하는가?
• RQ3 선형 연립방정식에 대해 양자 앤날링을 사용할 때 도달 가능한 해의 정밀도는 얼마이며, 반복 보정을 통해 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 제안된 반복적 앤날링 과정은 선형 방정식의 해 정밀도 향상에 얼마나 효과적인가?

주요 결과

• 상업용 양자 앤날러에서 두차항 다항방정식 연립방정식을 성공적으로 해결하여, 이 방법의 실현 가능성을 입증하였다.
• 반복적 앤날링 과정을 통해 선형 연립방정식의 해 정밀도를 10⁻⁸ 허용오차로 달성하였으며, 높은 정밀도를 보였다.
• 스케일링 행동 분석 결과, 해의 정밀도와 수렴 성능은 문제 크기와 조건수 모두에 의존하며, 조건수가 높을수록 성능 저하가 발생함을 확인하였다.
• 반복적 앤날링 과정은 해의 정밀도를 크게 향상시켰으며, 단일 실행보다 반복적인 앤날링 사이클이 정밀도 향상에 기여함을 보였다.