[논문 리뷰] Quantum approximate optimization algorithm for qudit systems

Yannick Deller, Sebastian Schmitt외 6명|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 01.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 양자 근사 최적화 알고리즘(QAOA)을 다중도(다중수준) 양자 시스템(d-레벨 양자 시스템)으로 확장하여 그래프 색칠하기 및 전기 자동차 충전 스케줄링과 같은 정수 최적화 문제에 적용함을 보여준다. 각도 운동량과 일반화된 파울리 연산자를 사용하여 비용 함수와 제약 조건을 인코딩함으로써, 저자들은 다중도 기반 QAOA가 정수 변수를 효율적으로 표현하고, 페널티 항, 조건부 게이트, 또는 동적 분리 기법을 통해 제약 조건을 강제할 수 있음을 보여주며, NISQ 장치에서 큐비트 기반 접근보다 자원 효율성이 높음을 입증한다.

ABSTRACT

A frequent starting point of quantum computation platforms are two-state quantum systems, i.e., qubits. However, in the context of integer optimization problems, relevant to scheduling optimization and operations research, it is often more resource-efficient to employ quantum systems with more than two basis states, so-called qudits. Here, we discuss the quantum approximate optimization algorithm (QAOA) for qudit systems. We illustrate how the QAOA can be used to formulate a variety of integer optimization problems such as graph coloring problems or electric vehicle (EV) charging optimization. In addition, we comment on the implementation of constraints and describe three methods to include these into a quantum circuit of a QAOA by penalty contributions to the cost Hamiltonian, conditional gates using ancilla qubits, and a dynamical decoupling strategy. Finally, as a showcase of qudit-based QAOA, we present numerical results for a charging optimization problem mapped onto a max-$k$-graph coloring problem. Our work illustrates the flexibility of qudit systems to solve integer optimization problems.

연구 동기 및 목표

• 정수 최적화 문제에 대해 큐비트보다 더 높은 자원 효율성을 보이는 다중도 시스템에 QAOA를 적용하기 위한 프레임워크를 개발하는 것.
• 다중도 시스템이 정수 변수를 자연스럽게 표현할 수 있음을 보여주어, 이중 큐비트 인코딩 대비 하드웨어 오버헤드를 줄이는 것.
• 페널티 항, 앤실라 기반 조건부 게이트, 동적 분리 기법을 포함한 여러 전략을 제안하여 다중도 기반 QAOA 회로에서 선형 제약 조건을 강제하는 방법을 제공하는 것.
• 다중도 기반 QAOA의 성능을 단순화된 전기 자동차 충전 최적화 문제에 대해 수치적으로 벤치마킹하며, 이를 최대-k-그래프 색칠 문제로 매핑하는 것.
• 트랩된 이온, 초냉각 원자, 초전도 회로와 같은 플랫폼에서 다중도를 사용하여 QAOA를 스케일러블하고 실험적으로 실현 가능한 방식으로 적용하는 방법을 확립하는 것.

제안 방법

• 차원 $d$를 가진 다중도에 대해 각도 운동량 연산자 $L_z$와 일반화된 파울리 연산자를 사용하여 정수 비용 함수를 하미르토니안으로 인코딩함으로써, 정수 변수의 직접적 표현을 가능하게 하는 것.
• 비용 하미르토니안에 페널티 항을 추가하여 제약 조건을 기술함으로써, 변분 최적화 과정에서 에너지 페널티를 통해 제약 조건을 강제하는 것.
• 보조 다중도 큐비트에 의해 제어되는 조건부 양자 게이트를 구현하여, 양자 회로에서 선형 제약 조건을 정확히 강제하는 것.
• 제약 조건 강제 과정 중에 디코herence를 억제하기 위해 동적 분리 전략을 적용함으로써, 노이지 중간 규모 양자(NISQ) 장치에서의 회로 정밀도를 향상시키는 것.
• 시간을 이산화하고 다중도 상태를 스케줄링 결정을 표현하는 데 사용함으로써, 실세계 최적화 문제(예: 전기 자동차 충전 및 작업장 스케줄링)를 다중도 기반 QAOA로 매핑하는 것.
• 변분 QAOA 프레임워크를 사용하여 $X$ 및 $Z$-형 진화 레이어를 번갈아가며 적용하고, 고전적 피드백을 통해 비용 함수를 최소화함으로써 다중도 힐베르트 공간 내에서 최적화를 수행하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정수 최적화 문제를 해결하기 위해 QAOA를 큐비트 기반에서 다중도 기반 시스템으로 효과적으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 다중도 힐베르트 공간에 정수 변수와 제약 조건을 각각 $L_z$ 및 일반화된 파울리 행렬과 같은 물리적 연산자를 사용하여 효율적으로 인코딩할 수 있는가?
• RQ3 다중도 기반 QAOA 회로에서 선형 제약 조건을 강제하는 데 가장 효과적인 전략은 무엇이며, 자원 비용과 회로 깊이 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ4 실제 최적화 문제인 전기 자동차 충전 및 그래프 색칠 문제 해결에서 다중도 기반 QAOA의 성능은 큐비트 기반 QAOA와 어떻게 비교되는가?
• RQ5 정수 변수를 표현하기 위해 필요한 다중도 수를 줄임으로써 다중도 기반 QAOA가 NISQ 장치에서 더 높은 자원 효율성을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 다중도 기반 QAOA는 각도 운동량 연산자를 사용하여 최대-k-그래프 색칠 문제 및 전기 자동차 충전 스케줄링과 같은 정수 최적화 문제를 다중도 힐베르트 공간으로 성공적으로 매핑함으로써, 정수 변수의 직접적 인코딩을 가능하게 한다.
• 각 다중도가 차원 $d$를 가진 상태로 $d$개의 정수 값을 직접 표현할 수 있기 때문에, 이중 큐비트 인코딩 대비 하드웨어 오버헤드가 감소한다.
• 페널티 항, 앤실라 기반 조건부 게이트, 동적 분리 기법을 포함한 세 가지의 서로 다른 제약 조건 강제 방법을 실험적으로 구현하였으며, 각각 회로 복잡도와 오류 내성 사이의 트레이드오���을 제공한다.
• 최대-k-그래프 색칠 문제로 매핑된 단순화된 전기 자동차 충전 문제에 대한 수치 시뮬레이션 결과, 다중도 기반 QAOA가 낮은 회로 깊이로 근사 최적 해에 수렴하는 것으로 나타났다.
• 다중도 연산자의 이차 및 고차항을 사용하여 작업장 스케줄링 문제에서 겹치지 않는 작업 운영 및 기계 사용 제한과 같은 제약 조건을 자연스럽고 효율적으로 인코딩할 수 있다.
• 트랩된 이온, 광학 캐비티 내 초냉각 원자, 초전도 회로와 같은 플랫폼에서 실험적으로 실현 가능하며, 이들 플랫폼에서는 점점 더 접근 가능한 다중도 수준의 연산이 가능해지고 있다.