[논문 리뷰] Quantum Assisted Eigensolver

Kishor Bharti|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 23.

Advanced Fiber Laser Technologies참고 문헌 1인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 NISQ 시대의 하미르토니안에 대한 기저 상태와 기저 상태 에너지를 근사하기 위한 하이브리드 양자-고전 알고리즘인 양자 보조 고유값 해법(Quantum Assisted Eigensolver, QAE)을 제안한다. 변이 양자 고유값 해법(Variational Quantum Eigensolvers)과 달리, QAE는 고전-양자 피드백 루프를 제거하며, 양자 하드웨어를 단지 오버랩 행렬 D와 E를 계산하는 데만 사용한다. 이 행렬들은 고전적 이차제약이 있는 이차계획문(QCQP)에서 최적의 안사트 계수를 찾는 데 사용된다. 이 방법은 볼록 이완을 통해 효율적으로 계산 가능한 하한을 제공하고, 전역 최적성의 충분 조건을 제시함으로써 신뢰할 수 있는 수렴을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We propose a hybrid quantum-classical algorithm for approximating the ground state and ground state energy of a Hamiltonian. Once the Ansatz has been decided, the quantum part of the algorithm involves the calculation of two overlap matrices. The output from the quantum part of the algorithm is utilized as input for the classical computer. The classical part of the algorithm is a quadratically constrained quadratic program with a single quadratic equality constraint. Unlike the variational quantum eigensolver algorithm, our algorithm does not have any classical-quantum feedback loop. Using convex relaxation techniques, we provide an efficiently computable lower bound to the classical optimization program. Furthermore, using results from Bar-On et al. (Journal of Optimization Theory and Applications, 82(2):379--386, 1994), we provide a sufficient condition for a local minimum to be a global minimum. A solver can use such a condition as a stopping criterion.

연구 동기 및 목표

• NISQ 시대에 하미르토니안의 기저 상태와 기저 상태 에너지를 근사하기 위한 하이브리드 양자-고전 알고리즘을 개발하는 것.
• VQE와 같은 변이 양자 알고리즘에서 발생하는 비옥한 평평한 곳(бар렌 플레이트) 회피 문제로 인한 학습 문제를 야기하는 고전-양자 피드백 루프를 제거하는 것.
• 단일 이차등식 제약 조건을 가진 고전적 최적화 프레임워크 기반의 QCQP에 기반한 이론적 보장을 제공하고 효율적인 하한을 계산할 수 있도록 하는 것.
• 주어진 안사트에 대해 기저 상태 에너지의 효율적으로 계산 가능한 하한을 계산하기 위해 볼록 이완 기법(Lagrangian 및 준정형 이완)을 사용하는 것.
• 국소 최소값이 전역 최적값임을 보장하는 충분 조건을 설정하여, 솔버가 이를 정지 기준으로 사용할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 알고리즘은 m개의 효율적으로 준비 가능한 양자 상태 |φⱼ⟩의 선형 조합으로 구성된 안사트를 선택함으로써 시작되며, 이는 복소 계수 α로 매개변수화된다.
• 양자 하드웨어는 하미르토니안 H = Σᵢ βᵢUᵢ에 포함된 각 유니터리 Uᵢ에 대해 ⟨φⱼ|Uᵢ|φₖ⟩ 형태의 행렬 원소를 계산하며, 이로써 Dⱼₖ = Σᵢ βᵢ⟨φⱼ|Uᵢ|φₖ⟩를 갖는 행렬 D를 구성한다.
• 오버랩 행렬 E는 ⟨φⱼ|φₖ⟩의 내적에서 계산되며, 안사트의 정규화 구조를 나타낸다.
• 고전적 최적화 단계는 QCQP을 해결함으로써 이루어지며, ⟨H(α)⟩ = αᵀDα를 최소화하고 αᵀEα = 1을 제약 조건으로 둔다. 여기서 α ∈ ℂᵐ이다.
• 볼록 이완 기법—Lagrangian 이완 및 준정형 이완—이 적용되어 최적 에너지의 효율적으로 계산 가능한 하한을 계산한다.
• Bar-On 등(1994)의 결과를 활용하여 국소 최소값이 전역 최적임을 보장하는 충분 조건을 유도하며, 이 조건을 만족할 경우 솔버가 이를 정지 기준으로 사용할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전-양자 피드백 루프가 필요 없이 하이브리드 양자-고전 알고리즘이 하미르토니안의 기저 상태 에너지를 근사할 수 있는가?
• RQ2 양자 하드웨어에서 계산된 오버랩 행렬 D와 E를 활용하여 고전적 QCQP이 정확한 기저 상태 근사를 제공할 수 있는가?
• RQ3 볼록 이완 기법이 주어진 안사트에 대해 기저 상태 에너지의 효율적으로 계산 가능한 하한을 제공할 수 있는가?
• RQ4 비볼록 QCQP에서 국소 최소값이 전역 최적임을 보장하는 충분 조건이 존재하는가? 이를 통해 고전적 솔버가 전역 최적성을 검증하고 신뢰할 수 있는 수렴을 이룰 수 있는가?
• RQ5 이 알고리즘의 성능은 VQE에 비해 노이즈에 더 강건하고 비옥한 평평한 곳 회피 문제에 더 유리한가?

주요 결과

• a = 0.4 및 b = 0.2인 토이 모델에서 알고리즘은 기저 상태 에너지를 -0.824621로 계산하였으며, 진짜 기저 상태 에너지와 여섯 소수점까지 일치한다.
• 최적의 안사트 계수는 α = [-0.87033111, 0.1221769, 0.1221776]ᵀ로 확인되었으며, 높은 정확도의 해에 수렴함을 보여준다.
• 볼록 이완을 통해 기저 상태 에너지의 하한을 제공하며, 이는 계산적으로 효율적이며 주어진 안사트에 대해 항상 유효하다.
• 국소 최소값이 전역 최적임을 보장하는 충분 조건이 도출되었으며, 이를 솔버가 정지 기준으로 사용함으로써 신뢰도를 향상시킬 수 있다.
• 파arameter 튜닝과 피드백 루프를 제거함으로써 VQE에서 발생하는 비옥은 평평한 곳 문제를 피하는 방식으로, 단일 스탑 양자 계산을 통해 행렬 원소를 계산한다.
• 이 알고리즘의 성공은 안사트의 표현력에 크게 의존한다. 빈약한 안사트는 열악한 근사를 초래하므로, 안사트 설계의 중요성을 강조한다.