[논문 리뷰] Quantum Block and Synchronizable Codes Derived from Certain Classes of Polynomials

Tao Zhang, Gennian Ge|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 05.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 다항식을 이용하여 양자 블록 코드와 양자 동기화 가능 코드의 새로운 구성법을 제시한다. 특히 $\mathbb{F}_2$ 위의 두차이 코드를 활용한다. 순환체의 코셋과 특정 다항식의 기약 인수의 대수적 구조를 이용하여, 더 나은 파라미터를 갖는 새로운 양자 코드를 유도한다. 이는 최대 오차이 허용도를 갖는 무한한 양자 동기화 가능 코드의 무리와 함께, 기존의 구성법을 초월하는 파라미터 범위와 효율성을 확보한다.

ABSTRACT

One central theme in quantum error-correction is to construct quantum codes that have a large minimum distance. In this paper, we first present a construction of classical codes based on certain class of polynomials. Through these classical codes, we are able to obtain some new quantum codes. It turns out that some of quantum codes exhibited here have better parameters than the ones available in the literature. Meanwhile, we give a new class of quantum synchronizable codes with highest possible tolerance against misalignment from duadic codes.

연구 동기 및 목표

• 다항식 기반의 고전적 코드를 이용하여 최소 거리가 향상된 새로운 양자 블록 코드의 클래스를 개발한다.
• 높은 오차이 허용도를 갖는 무한한 양자 동기화 가능 코드의 무리가 부족한 문제를 해결한다.
• 두차이 코드의 대수적 구조를 활용하여 기존의 양자 동기화 가능 코드 구성법을 일반화한다.
• 현재 온라인 표에 기재된 것들보다 더 나은 파라미터를 갖는 양자 코드의 명시적 구성법을 제공한다.

제안 방법

• 특히 $\mathbb{F}_2$에서 $d_{n0}(x)$의 기약 인수에 중점을 두고, 유한체 위에서 다항식을 평가하여 고전적 선형 코드를 구성한다.
• 홀수 소수 $p \equiv -1 \pmod{8}$ 에 대해 $p^n$ 모듈로의 $2$-순환체 코셋을 사용하여 순환 코드의 정의 집합을 분해한다.
• 기약 인수 $h_{ij}(x)$의 곱으로 이루어진 생성 다항식 $f_1(x)$와 $f_2(x)$를 이용하여 순환 코드 $D_1$과 $D_2$를 정의한다.
• 이 코드들의 자기 수반이나 쌍대성 성질을 활용하여 CSS 구성법을 통해 양자 코드를 구성한다.
• 코드 길이를 $a_l$과 $a_r$ 패딩을 통해 연장함으로써 대칭성과 대수적 구조를 유지하면서 양자 동기화 가능 코드를 구성한다.
• 모듈로 $p^n$에 대한 2의 차수, 즉 $\text{ord}_{p^n}(2) = t_n$을 사용하여 다항식의 차수와 기약 인수의 수를 결정함으로써 코드 파라미터를 정밀하게 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항식 기반의 구성법이 기존 것보다 더 나은 파라미터를 갖는 양자 코드를 도출할 수 있는가?
• RQ2 어떤 대수적 구조가 오차이에 대해 최대 내성도를 갖는 양자 동기화 가능 코드의 구성에 기여하는가?
• RQ3 어떻게 $\mathbb{F}_2$ 위의 두차이 코드를 체계적으로 활용하여 무한한 양자 동기화 가능 코드의 무리를 생성할 수 있는가?
• RQ4 순환체 코셋과 $d_{n0}(x)$의 기약 인수 분해는 코드 파라미터 결정에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 저자들은 $a_l + a_r < p^n$ 인 조건 하에 $(a_l, a_r)$-$[[p^n + a_l + a_r, k]]_2$ 파라미터를 갖는 새로운 무한한 양자 동기화 가능 코드의 무리를 구성하였다. 이는 최대 오차이 허용도를 달성한다.
• 특히 $p = 31$, $n = 2$ 일 때, $f_1(x) = \prod_{i=1}^3 h_{1i}(x) \prod_{j=1}^3 h_{2j}(x)$ 및 $f_2(x) = \prod_{i=1}^3 h_{1i}(x)$ 이면 $(a_l, a_r)$-$[[961 + a_l + a_r, 621]]_2$ 형태의 양자 동기화 가능 코드가 유도되며, $k = 621$ 이다.
• 이 구성법은 $u_i$와 $v_i$의 선택을 통해 더 넓은 코드 길이 및 파라미터 범위를 허용함으로써, 이전 결과들, 특히 [26]의 결과를 일반화한다.
• 이 방법은 온라인 표 [6]과 [12]에 기재된 것들보다 더 나은 최소 거리와 비율을 갖는 양자 코드를 생성한다.
• $\mathbb{F}_2$ 위에서 $d_{n0}(x)$의 기약 인수의 수는 $\frac{p^{n-1}(p-1)}{2t_n}$ 이며, 여기서 $t_n = \text{ord}_{p^n}(2)$ 이다. 이는 코드 차원과 길이를 정밀하게 제어할 수 있게 한다.
• 이론적 분석을 통해 코드들이 자기 수반이고, CSS 방법을 통한 양자 코드 구성에 필요한 조건을 만족함을 확인하였으며, 이는 오류 수정 능력을 보장한다.