[논문 리뷰] Quantum Brachistochrone for Mixed States

A. Carlini, Akio Hosoya외 2명|arXiv (Cornell University)|2007. 03. 06.

Quantum Mechanics and Applications인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 제약 조건이 있는 해밀토니안과 리드블라드 연산자에 의해 지배되는 혼합 상태에 대한 시간 최적 양자 진동을 결정하기 위한 변분 원리를 개발한다. 최적 해밀토니안에 대한 양자 브라키스토크레 방정식을 유도하고, 환경 자유도가 증가할수록 지수적으로 감소하는 최적 시간을 갖는 혼합 상태를 통한 진동이 순수 상태 간의 유니타리 진동보다 빠를 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We present a general formalism based on the variational principle for finding the time-optimal quantum evolution of mixed states governed by a master equation, when the Hamiltonian and the Lindblad operators are subject to certain constraints. The problem reduces to solving first a fundamental equation (the {\it quantum brachistochrone}) for the Hamiltonian, which can be written down once the constraints are specified, and then solving the constraints and the master equation for the Lindblad and the density operators. As an application of our formalism, we study a simple one-qubit model where the optimal Lindblad operators control decoherence and can be simulated by a tunable coupling with an ancillary qubit. It is found that the evolution through mixed states can be more efficient than the unitary evolution between given pure states. We also discuss the mixed state evolution as a finite time unitary evolution of the system plus an environment followed by a single measurement. For the simplest choice of the constraints, the optimal duration time for the evolution is an exponentially decreasing function of the environment's degrees of freedom.

연구 동기 및 목표

• 순수 상태에서의 시간 최적 양자 제어를 마코프 마스터 방정식으로 지배되는 열린 양자 시스템으로 일반화하기.
• 해밀토니안과 리드블라드 연산자에 대한 물리적 제약 조건 하에서 진동 시간을 최소화하기 위한 일반적인 변분 원리 설정하기.
• 같은 제약 조건 하에서 혼합 상태를 통한 시간 최적 진동이 순수 상태 간의 유니타리 진동보다 더 빠를 수 있음을 보여주기.
• 보조 큐비트에 가변적인 결합을 갖는 두 큐비트 시스템을 통해 최적 혼합 상태 진동의 물리적 실현 가능성을 제공하기.
• 확장된 하이젠베르크 공간에서의 유니타리 진동 후 단일 최종 측정과 반복적인 짧은 측정 간의 시간 최적성 비교하기.

제안 방법

• 시간 비용 함수와 라그랑주 승수를 사용하여 마스터 방정식과 연산자 제약 조건을 강제하는 변분 작용을 설정한다.
• 최적 해밀토니안의 기본 방정식인 양자 브라키스토크레 방정식을 유도하며, 제약 조건이 명시되면 이를 해석할 수 있다.
• 마스터 방정식과 제약 조건 방정식을 풀어 최적 리드블라드 연산자와 밀도 행렬의 시간 진동을 결정한다.
• 보조 큐비트가 환경을 시뮬레이션하는 두 큐비트 모델을 구성하고, 부분 추적을 통한 반복적인 짧은 시간의 유니타리 진동이 리드블라드 동역학을 재현한다.
• 시스템과 환경의 유한 시간 유니타리 진동 후 단일 측정을 통해 혼합 상태 진동을 모델링하고, 크라우스 연산자로 매핑한다.
• 리드블라드 연산자와 크라우스 연산자 간의 관계를 사용하여 진동을 완전히 양성적이고 추적을 유지하는 사상으로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제약 조건이 있는 해밀토니안과 리드블라드 연산자에 의해 지배되는 마코프 동역학 하에서 순수 상태에서의 시간 최적 양자 제어를 혼합 상태로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 같은 제약 조건 하에서 혼합 상태를 통한 진동이 순수 상태 간의 유니타리 진동보다 더 빠른가?
• RQ3 확장된 공간에서의 유니타리 진동 후 최종 측정을 사용할 경우, 최적 진동 시간은 환경 큐비트의 수에 따라 어떻게 스케일링되는가?
• RQ4 제어 가능한 두 큐비트 시스템과 보조 큐비트를 통해 최적 리드블라드 동역학을 물리적으로 실현할 수 있는가?
• RQ5 반복적인 마코프 측정과 단일 최종 측정 간의 시간 최적성은 혼합 상태 진동에서 어떤 관계가 있는가?

주요 결과

• 같은 해밀토니안 집합에 제약을 받는 경우조차도 혼합 상태의 시간 최적 진동이 순수 상태 간의 유니타리 진동보다 더 빠를 수 있다.
• 확장된 하이젠베르크 공간에서의 유니타리 진동 후 단일 최종 측정을 통해 진동하는 최적의 지속 시간은 환경 큐비트의 수에 따라 지수적으로 감소한다.
• 일 큐비트 모델에서 최적 해밀토니안은 양자 브라키스토크레 방정식으로 유도되며, 최적 리드블라드 연산자는 디코herence를 제어하는 데 쓰인다.
• 반복적인 짧은 시간의 유니타리 작용과 부분 추적을 통해 보조 큐비트에 가변적인 결합을 갖는 두 큐비트 시스템으로 최적 동역학을 시뮬레이션할 수 있으며, 이는 마스터 방정식을 재현한다.
• 작은 수의 환경 큐비트에서 반복 측정 모델은 최종 측정 모델보다 목표 순수 상태로의 허상도가 더 빨리 증가한다.
• 이 형식은 특수한 경우에 해석적 해를 가능하게 하고, 더 일반적인 제약 조건에 대해서는 수치적 해를 제공하며, 표준 미분방정식 및 대수적 방법으로 전체 방정식 세트를 해석할 수 있다.